Application identité

1.1 Vocabulaire, rappels 1 CHAPITRE 1 Fonctions, applications 19 octobre 2012 1.1. Vocabulaire, rappels 1.1.1. Ensembles, quantificateurs. Un ensemble est une collection d’objets mathématiques... Exemple 1.1. A = {a, b, c, e} , E = {2, 3, 4, 5} = {x ∈ R, 2 • • • • x 5} ∅ désigne l’ensemble vide. x ∈ A se lit x appartient à l’ensemble A, ou x est élément de l’ensemble A x ∈ A se lit x n’appartient pas à l’ensemble A, ou x n’est pas élément de l’ensemble A / ∀x ∈ E, P (x) se lit : pour tout

. e 1.6 Quelques notions topologiques de R . . . . . . . . . . 1.6.1 Propri´t´ de la borne sup´rieure . . . . . . . . ee e 1.6.2 Exemples et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . ee 1.6.3 Caract´risation de la borne sup´rieure . . . . e e 1.6.4 Application aux fonctions . . . . . . . . . . . 2 Suites num´riques e 2.1 D´finition et exemples . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 Suites arithm´tiques, g´om´triques e e e g´om´triques . . . . . . . . . . . . . e

sur les fonctions r¶eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 D¶enombrabilit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tribus et applications mesurables 8 2.1 Tribus, espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Structure des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Mesures et int¶egration

Je l’invite à rentrer dans mon bureau et à s’asseoir. Ensuite je prends la parole, me présente ainsi que la fonction que j’occupe et je lui dis dans quel service, nous nous trouvons. Après je la laisse se présenter, c’est ainsi que j’apprends son identité, son âge qu’elle est en recherche d’emploi depuis 2 mois et qu’elle est envoyée par sa conseillère pôle emploi. Communication non verbale : Le fait d’aller la chercher dans le couloir lui signifie que c’est moi qui suis à sa disposition ;

bijectif, dont l’inverse F pour tout f ∈ S, f (x) = IR 4-3 Transformation de Fourier dans L2 (IR). Le th´or`me de prolongement ci-dessous permet d’´tendre la transformation de Fourier de e e e S(IR) ` son compl´t´ L2 (IR). a e e Th´or`me. e e Toute application lin´aire continue Φ d’un sous-espace vectoriel E1 d’un e espace vectoriel norm´ E, dense dans E, dans un espace vectoriel norm´ complet F , se e e ˜ de E dans F . De plus, elle prolonge de fa¸on unique en l’application lin´aire continue Φ c e a

poss`de, en tout point, une e e e limite ` gauche ; celle-ci est finie si et seulement si la fonction est major´e ; etc. a e lorsque x → +∞ 1 xβ f (x2 ) = sup f. (3.9) Fonctions r´ciproques. Soit I un intervalle et f : I → R une application continue, strictement e monotone sur I . • Alors J = f (I) est un intervalle de mˆme nature que I (ouvert, ferm´, semi-ouvert). e e • f r´alise une bijection de I sur J et f −1 : J → I est continue et de mˆme sens de monotonie e e que f

des scripts et on les construit à l'aide de n'importe quel éditeur de texte (par exemple emacs, …). Le mode en ligne permet d'obtenir des résultats simples qui ne sont pas sauvegardés. Le mode programmation, quant à lui, permet de développer des applications très complexes. 1. Lancement de Matlab Lors de son lancement (via la commande Matlab par exemple) la fenêtre d'exécution s'ouvre. Il est alors possible d'exécuter différents types de commandes dans cette fenêtre, par exemple*, la commande fondamentale

. . . . . . . 5.4 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles et applications 6.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Appartenance et éléments d’un ensemble . . . . 6.1.2 Inclusion et sous ensemble . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . 6.1.4 Famille d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Vocabulaire et notations . . . . . .

. . . . . . . . . . 48 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 D´rivation et primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 e 4.3 Applications des d´veloppement limit´s. . . . . . . . . . . . . . . . 55 e e 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 Recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Position d’une courbe par rapport ` sa tangente . . . . . . . 56 a D´veloppements asymptotiques

Cours ECE première année ii Table des matières 1 Introduction aux fonctions d’ une variable réelle 1 Ensembles usuels et vocabulaire ensembliste . . . 2 Généralités sur les fonctions. . . . . . . . . . . . 3 Applications aux fonctions usuelles. . . . . . . . . 4 Rappel sur la dérivation et les tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .