Approximation de Gauss

élégante et relativement rapide. Un processus suivant l’équation stochastique Z t Z t dY t = f (t; Y t ) dt + g (t; Y t) dWt ou Yt = Y0 + f (s; Y s ) ds + g (s; Y s) dWs 0 0 peut être assimilé à un processus en temps discret véri…ant l’équation (approximation d’Euler ) Yt+1 ¡ Yt = f (t; Yt ) + g (t; Y t ) [Wt+ 1 ¡ Wt ] = f (t; Y t ) + g (t; Y t ) "t où ("t) est un bruit blanc gaussien, de variance 1. Remarque 11 Réciproquement, en reprenant un exemple de Nelson (1990), un modèle à temps discret de type

composant du moteur retourné en panne avant démontage n’est pas la même (donc n’a pas le même code article) que la pièce à monter dans le moteur reconditionné. La première doit être démontée, contrôlée, lavée pour devenir la deuxième. 1. Ou loi de « Gauss ». 51 QUOI ? Un fabricant de chaussures connaît par ses statistiques de vente la répartition des pointures par modèle et par pays. Et même si cette répartition peut évoluer sur une génération (il semble que les pieds grandissent ! ! !), l’évolution

int´grables, et si X ≤ Y , alors E(X) ≤ E(Y ). e Autrement dit, X −→ E(X) est une forme lin´aire positive. e Preuve. 1. La d´monstration repose sur un sch´ma classique : on montre d’abord la lin´arit´ pour e e e e les v. a. simples, puis par approximation, pour les v. a. positives, et finalement, pour toutes les variables al´atoires int´grables en utilisant que E(X) = E(X + ) − E(X − ). e e (Hors programme). 52 2. Clair par d´finition de l’esp´rance d’une variable al´atoire. On d´ja d´montr´ le

théorie des probabilités fut développée par Poisson (qui découvrit aussi une loi des grands nombres en 1837 et imposa ce terme), puis par Laplace (Théorie analytique des probabilités, 1812) et Gauss (Théorie de la combinaison d’erreurs de faibles amplitudes, 1821) qui découvrirent 16 la fameuse loi de Laplace-Gauss, aussi appelée loi normale. Il fallut tout un siècle pour généraliser les lois des grands nombres, et pour cela le développement des théories de l’intégrale (Riemann en 1867, Lebesgue en 1901

fondées sur les équations de Maxwell. En effet la lumière étant une onde électromagnétique elle en vérifie les propriétés. EQUATION DE MAXWELL : Th. Formes globales équivalent (Cours de 2ème année ) (Vrai seulement en Statique) Th. De Qint Flux(E )= ε0 Gauss Potentiel Circulation de E nul le long ∫E.dl =0 d'une contour boucle fermée Pas de Flux(B)=0 monopole magnétiqu e Th. Circulation de B D'Ampère ∫B.dl =µoJ contour Formes locales : Eq. de Maxwell dans la matière (Vrai en statique et en dynamique)

´egalement valable, si on d´efinit le ε–voisinage du nombre complexe a exactement comme dans le cas r´eel : Uε (a) = Da,ε := {z ∈ C; |z − a| < ε}. La notation Da,ε doit rappeler que c’est le disque ouvert de centre a et de rayon ε dans le plan de Gauß. D´ efinition 2.28 Une partie U ⊂ C est un voisinage du point a ∈ C s’il contient un ε–voisinage de a, c’est-` a-dire s’il existe un ε > 0 t.q. Uε (a) = Da,ε ⊂ U . Si on parle d’un voisinage d’un nombre r´eel a, il faut donc bien pr´eciser s’il

channel ³éµ»ñÇã / Ùáï»óÙ³Ý çñ³Ýóù Ùáï³íáñ Ù»ÍáõÃÛáõÝ ïîäâîäÿùèé êàíàë kanał derywacyjny ïðèáëèæåííàÿ âåëè÷èíà wartość przybliżona Ùáï³ñÏáõÙ ïðèáëèæåíèå 100 application limits canal d'amenée 103 approximate value valeur 104 approximation approximative approximation granica zastosowania limite de aplicare aproksymacja canal de aducţiune valoare aproximativă aproximaţie ‫ﺳﻠﺴﻠﺔ اﻟﺤﺪ‬ ‫اﻷﻗﺼﻰ اﻟﺴﻨﻮي‬ ‫ﺳﻠﺴﻠﺔ اﻟﺤﺪ‬ ‫اﻷدﻧﻰ اﻟﺴﻨﻮي‬ 86 87 88 ‫ إﻧﺴﻴﺎب ﺳﻄﺤﻲ‬89 ‫ﺳﻨﻮي‬ ‫ﺳﻠﺴﻠﺔ اﻟﻘﻴﻢ‬ ‫اﻟﺴﻨﻮﻳﺔ‬ ‫ﻣﺨﺰون

d’onde n’est pas clair. Pour Schrödinger, elle est réelle. 1926 : H. Lorentz montre l’étalement du paquet d’ondes. 1926 : Brillouin, Kramer et Wentzel montrent indépendamment que la méthode de quantification de Bohr-Sommerfeld constitue une approximation de la mécanique quantique, valable dans la limite des grands nombres quantiques. 1926 : Born, pour interpréter les expériences de collision d’électrons, propose l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde. Einstein n’aime pas l’interprétation

[ X ( p) ⋅ Y ( p) ]* ≠ X * ( p) ⋅ Y * ( p) * [ X ( p) ⋅ Y ( p)]* noté XY ( p) Sauf par approximation comme la TB par ex. 5 Sauf par approximation comme la TB par ex. Z [ X ( z) ⋅ Y ( p) ] = X ( z) ⋅ Y ( z) Par commutativité de la convolution Z [ X ( p ) ⋅ Y ( z) ] = X ( z) ⋅ Y ( z) Z [ X ( p) ⋅ Y ( p) ] ≠ X ( z) ⋅ Y ( z) Z [ X ( p) ⋅ Y ( p) ] noté XY ( z) Sauf par approximation comme la TB par ex. TB : Transformation Bilinéaire (cf. chapitre 9) 1.6. Application Soit

E[b|X] = β (under assumptions 1–3). 2. Gauss-Markov: b is most efficient among linear unbiased estimators,∗ i.e., best linear (in Y ) unbiased estimator (assumptions 1–4). 3. Cov(b, e|X) = 0, where e ≡ Y − Xb (assumptions 1–4). 4. Var[b|X] = σ 2 (X X)−1 (assumptions 1–4); therefore a common estimator is Var(b|X) ≡ s2 (X X)−1 . Under normal error assumption, CRLB » 2 – σ (X X)−1 0 I −1 = 4 /n 0 2σ so b achieves CRLB and is UMVUE—this result is stronger than Gauss-Markov, but requires normal errors. OLS