Approximation de Gauss

linéaire simple et en remplaçant βˆ1 par son expression (1.1), nous avons : xi y i − x2i − βˆ2 = xi y¯ = xi x ¯ xi (yi − y¯) = xi (xi − x ¯) (xi − x ¯)(yi − y¯) . (xi − x ¯)(xi − x ¯) (1.2) La seconde méthode consiste à appliquer la technique de Gauss de réduction des formes quadratiques, c’est-à-dire à décomposer S(β1 , β2 ) en somme de carrés, carrés qu’il ne restera plus qu’à annuler pour obtenir les estimateurs βˆ1 et βˆ2 . Dans notre cas, après calculs, ceci s’écrit : n S(β1 , β2 ) =n (β1

grande population, il importe peu que ce tirage se fasse avec ou sans remise (en pratique, on considèrera que la population est « grande » lorsque l'échantillon représente moins de 10% de cette population : n /N < 0,1). Loi normale ou loi de Laplace-Gauss N(m,σ²) C’est la loi d’une variable X continue, variant de -∝ à +∝ , dont la densité de probabilité vaut : 2 1 exp⎡− 1 x−m ⎤ ⎢ 2 σ ⎥ σ 2π ⎣ ⎦ E(X)=m Espérance : Variance : Var(X)=σ² f(x)= ( ) Convergence de la loi binomiale vers la loi normale

donc est infini. Un exemple différent est traité dans la figure 14. © Revue MODULAD, 2006 - 96 - Numéro 35 Figures 13 et 14. A gauche, spectre en logarithmes du processus stationnaire d’équation (1 – 0.8B12) yt = (1 – 0.6B) et. A droite, approximation (obtenue en remplaçant les racines 1 par 0,99) du spectre en logarithmes du processus non stationnaire ∇∇12yt = (1 – 0.6B)(1 – 0.8B12)et. 100.000 1000000.000 100000.000 10.000 10000.000 1000.000 1.000 Processus Processus 100.000 10.000

Ce sont donc des variables al´atoires continues que l’on retiendra dans la suite du cours. e Il y a une famille de lois de variables al´atoires continues tr`s importante en e e statistique et en ´conom´trie, il s’agit de la loi normale (ou loi de Gauss). Elle e e intervient notamment dans la th´orie de l’estimation et des tests. On l’utilisera e beaucoup dans la suite de ce cours. Les variables al´atoires, dont la loi est une loi normale, prennent leurs valeurs e e a dans l’ensemble des nombres r´els

s´ecante. . . . . . . . . . . . . Taux d’accroissement moyen et instantan´e de y = f (x). . Aire sous la courbe y = f (x) entre a et b. . . . . . . . . . Aire sous la droite y = x entre x = 1 et x = 10. . . . . . . Approximation de l’aire sous la courbe y = f (x) entre a et Approximation de l’aire sous la courbe y = f (x) entre a et Sous-division d’un intervalle en n segments ´egaux. . . . . Aire sous la droite y = x entre x = 1 et x = 10. . . . . . . Aire sous la courbe y = x2 entre −2 et 0.

Représentation entrée-sortie et représentation d’état . . 2.8.2 Corrélation des sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . Séparation aveugle de sources 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Hypothèses sur les signaux . 5.1.2 Approximation de ψ . . . . 5.2 Séparabilité d’un système inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’instant t . Notion de référentiel du mouvement. Dans la collection d’espaces introduite pour décrire le mouvement d’un système de solides, l’un d’eux est défini comme le référentiel du mouvement. Cet espace sera considéré comme fixe, en première approximation, lors des opérations (calculs de vitesses ou d’accélération) qui 10 Chapitre 1 • Cinématique impliquent des dérivées par rapport au temps. Cette notion est tout à fait intuitive. Prenons un solide – la Terre par exemple – auquel nous associons

recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les célèbres théorèmes de Gauss et de Stokes. Dans la partie III, nous développons des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de l’analyse

u(t) =kp (bsp vref (t) − vobs (t)) + ki 0 vref (τ ) − vobs (τ )dτ (5.1) + kd bsd dvref (t) dvobs (t) − dt dt avec vref la vitesse d´sir´e et vobs la vitesse mesur´e du moteur. e e e La discr´tisation de l’int´grale est faite par approximations trap´zo¨ e e e ıdales, et celle de la d´riv´e par diff´rences finies. e e e Pour l’int´grale : e CI(n + 1) = CI(n) (vref (n + 1) − vobs (n + 1)) + (vref (n) − vobs (n)) + ki 2F Pour la d´riv´e : e e CD(n + 1) = F kd (bsd (vref (n + 1) − vref (n))

e e l’on note 1 − α (α est une probabilit´ petite). On relativise ainsi l’information donn´e par l’estimateur θ. e e Pour pouvoir construire un intervalle de confiance, il faut connaˆ la distribution de probabilit´ de θ (ou ıtre e au moins une approximation de cette distribution de probabilit´). e 3.3.3 Tests d’hypoth`ses e Tests d’hypoth`ses simples e Le test d’hypoth`ses consiste ` ´noncer deux hypoth`ses sur un param`tre θ, dont une seule est vraie. e ae e e Par exemple, on peut tester