Arc tangente

repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative Cf d’une fonction f définie ı  sur l’intervalle ] − ∞ ; −2 [ ∪ ] − 2 ; 3 [ ∪ ] 3 ; +∞ [. On a tracé sur le graphique les asymptotes à Cf (droites en pointillés), ainsi que les tangentes horizontales. 1 1 1. À l’aide des indications ci-dessus, déterminer les limites suivantes : a) lim f (x) x→−∞ b) lim f (x) x→−2− c) lim f (x) x→−2+ d) lim− f (x) x→3 e) lim+ f (x) x→3 f) lim f (x). x→+∞ 2

Dérivation. 1. La tangente à une courbe en un point P, est la droite dont la position est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P Pente de PQ=fx-f(a)x-a Pente de t =limx→afx-f(a)x-a 2. Comme t est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P alors la pente de la tangente t est la limite de la pente de PQ quand Q se rapproche de P. 3. Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I C R et a ∈ I le nombre dérivé de f en a ,noté

dérivation à bon escient. • Il faudra montrer aux élèves le lien entre les deux expressions • On fera des activités sur l'approximation affine. • • On donnera une continue en x0 . interprétation cinématique 2) InterprŽtation et économique. gŽomŽtrique • · Tangente à une courbe en • Théorèmes : Soit f une un point fonction dérivable à 3) Nombre dŽrivŽ ˆ gauche , gauche et à droite en x0 : nombre dŽrivŽ ˆ droite • 1) Si les nombres dérivés à · Définition, théorèmes, gauche et à droite sont égaux interprétation

−x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes. 1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l’aide d’une règle. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) et l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2 ). 2. On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d’abscisse a de la

définie sur par : f (x) = 2xe-x + 3e-x = (2x + 3)e-x – Partie B - Etude d’une fonction 1. a) La courbe représentative C de f coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3 donc f(0) = 3. b) Graphiquement : le coefficient directeur m de la tangente (AB) est donné par : f ' (0) = -1. c) f (x) = (ax + b)e-x f (0) = (0 + b)e0 = 3 d'où b = 3. f ' (x) = (a)e-x - (ax + b)e-x f ' (0) = (a)e0 - (b)e0 = -1 donc a - b = -1 or b = 3 d'où a = 3 - 1 = 2 on a donc a = 2 et b = 3 par conséquent

par g(x) = 3 x. On note (D) sa représentation graphique. 1) Calculer la dérivée f0 de f. 2) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (f ) au point d’abscisse x0 = 2. 3) Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x). 4) Préciser les coordonnées des points d’intersections

L.S. l’ExcellenceDEVOIR DE MR : Smaali. KEF. SYNTHESE N°1. MONDHER. Niveau : 4SC.EXP. Le : 07-12-2011. Durée : 2H. EXERCICE N°1. α est un réel de]0, π [. A. Soit l’équation (E) : Z2-3Z+2=eiα (Z-2) 1- Vérifier que Z0= (1+eiα) est une solution de (E). 2- Trouver l’autre solution Z1 de (E). 3- Ecrire Z0 et Z1 sous leurs formes exponentielles. B. On pose P(Z)=Z3-4Z2+ (5-e2iα) Z+2(-1+e2iα) 1- Calculer P(2). 2- Déterminer les nombres complexes a et b pour que P(Z)= (Z-2) (Z2+aZ+b). 3- Déduire dans ℂ les

ELEMENTS DE CORRECTION DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES (SERIE S) Exercice 1 : Partie A 1) u est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : u’(x) = e-x – x e-x. Donc pour tout réel x : u’(x) + u(x) = e-x. u est donc bien solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x) = C e-x , où C est un réel fixé. 3) v est solution de (E) si et seulement si pour tout réel x v’(x) + v(x) = e-x, ce qui équivaut à : pour tout réel x v’(x) + v(x) = u’(x) + u(x),

Nom: Prénom: ExERcrce (4 norHrs): ru'1 CorurnoLË NT Classe 2no" : 2 f (x) J 0 - l || 0 a) Ce tableau.devaleurs d'une fonction fpeut correspondre une seule à destrois courbesdu graphique.Laquelle , d/ryJl L b) Le point d'abscisse-2 appartientà la courbe représentative cetæ de fonction f. Quelle est son ordonnée? a c) Combien y a-t-il d'antécédents 0 par f ? de Pointezleurs positionssur I'axe desabscisses 3 ExERcrce (6 nornrs): N? On considèrela fonction définie par la

f '  x=− 2 x f '  x puis dressez le tableau des variation de f . b) Etudiez le signe de 1 1 3) a) Calculez f et f ' et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point e e 1 d'abscisse . On notera T cette tangente. e b) Calculez f e  et f ' e et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse e . On notera T ' cette tangente. 4) Placez dans un repère les informations recueillies dans les questions précédentes. On prendra pour échelle 3cm (ou 3 grands carreaux) pour 1unité sur