Arc tangente

Chapitre 5 Dérivation 1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( ( 2 Fonction dérivée 2.1 Définition 2.2 Tableaux 3 Applications 4 Utilisations de la fonction dérivée 4.1 Equation de la tangente à la courbe en un point x0 4.2 Variations de f et signes de f’ 1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( ( Taux d’accroissement : T(k)

appartient au segment [AB] : on pourra déterminer le réel k tel que [pic] et vérifier que ce réel k est compris entre 0 et 1. 2°) a) Déterminer une équation de la droite (BC). b) Démontrer que la droite (BC) et le cercle C sont tangents en le point [pic] c) F appartient-il au segment [BC] ? Justifier. 3°) a) Donner une équation de la droite (CA). b) Déterminer l’intersection de la droite (CA) et du cercle C. c) Pourquoi G appartient-il au segment [CA] 

dérivation 1) La tangente Si je trace la droite passant par A(a ; f(a)) et B(a + h ; f(a + h)), je m'aperçois que sa pente est égale à f ah− f a , c'est à dire précisément le t(h) du A) ! h Page 3/7 Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 6 : La dérivation des fonctions Si h se rapproche de 0, B se rapproche de A en restant sur la courbe, et la droite va adopter la même pente que la courbe en A. La droite vers laquelle elle se rapproche s'appelle la tangente en A à la

en lesquels la tangente (D) est parallèle à la droite d’équation (b) Placer ces points sur le graphique donné en annexe ainsi que les tangentes en ces points Exercice 4 1. On cherche à déterminer une fonction f polynome du troisième degré sachant que sa courbe dans un repère orthonormal vérifie les deux conditions suivantes : (a) passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -2. en son point d’abscisse 1 est parallèle à la droite d’équation 1/2 (b) La tangente à Marilyn Zago

variations de f et donner son tableau de variation. 4°) Démontrer que f() = (1 + 2e-) 5°) Démontrer que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à (C) en . Préciser la position de (C) par rapport à . 6°) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0. 7°) Tracer , T puis (C). CORRECTION DEVOIR Problème Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire 1°) On sait que  (x2 - 2x + 2) =  x2 =  et  e-x =  e X =  Donc  (x2 - 2x +

graphique ci-contre, on donne la courbe représentative C de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques 1 centimètre en abscisse et en ordonnée. La courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 3. La courbe C passe par le point A(2 ; 1) et la droite T est tangente en A à la courbe C. Le point B(1 ; −4) appartient à la droite T . 2 C 1 −1 −1 1 2 3 4 5 −2 −3 T −4 −5 1. À l’aide des données précédentes et du graphique

ES Dérivation Durée 0.5 heure - Coeff. 2 Noté sur 20 points Exercice 1. Dérivée et tangente 8 points On a tracé Cf , la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f : R x 25 −→ R −→ f (x) = x3 + 8x2 + 17x + 10 20 15 10 5 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −5 1 2 3 4 x −10 −15 1. Déterminer la dérivée de f : ∀x ∈ R ; f ′ (x) = 3x2 + 16x + 17 2. Déterminer l’équation de T , la tangente à Cf au point A d’abscisse −3 et la construire sur le graphique ci-dessus. L’équation

Comment utiliser la représentation graphique d'une fonction f? rappel: l'axe des abscisses est la droite horizontale passant par O et l'axe des ordonnées est la droite verticale passant par O. A chaque valeur de x est associée une image notée f(x). On peut dans les cas les plus simples, tracer la représentation graphique de f en reliant les points de coordonnées (x; f(x)). -Si on cherche l'image de x, on place x sur l'axe des abscisses et alors il suffit de prendre l'ordonnée du point d'intersection

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

l’appliquer il faudrait faire deux cas, et changements de variables différents à chaque fois ( √ La fonction est paire, il suffit de faire une étude pour Donc est croissante sur , et et en et en faisant des ). √ en et , la courbe admet une tangente horizontale en Donc la courbe admet une asymptote horizontale d’équation On en déduit l’allure de la courbe en . . 1,2 1 0,8 0,6 0,4 xp 0,2 0 -8 -6 -4 -2 -0,2 0 2 4 Attention : La courbe à l’air d’avoir un « plat » autour de voisinage