Arithmétique des polynômes

4 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 figure 4 : fonction Q figure 2 : fonction M figure 3 : fonction P Les courbes figurant dans le tableau 1 sont les représentations graphiques de quatre fonctions polynômes de degré 3 : L, M, P, Q. 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 figure 5 : fonction f figure 6 : fonction g Tableau 2 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 0 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 1 2

ensuite à décroître. Exercice VII Courbes de Lorentz f ( x ) = 0, 2x 2 + 0, 8 x est une fonction polynôme du second degré. f est dérivable sur [0 ; 1] et ᕡ a) La fonction f définie sur [0 ;1] par f '( x ) = 0, 4 x + 0, 8. Sur [0 ; 1], f '( x ) > 0 donc f est strictement croissante sur [0 ;1]. La fonction g définie sur [0 ;1] par g ( x ) = 0, 8 x 2 + 0, 2x est une fonction polynôme du second degré. g est dérivable sur [0 ;1] et g '( x ) = 1, 6 x + 0, 2. Sur [0 ; 1], g '( x ) > 0 donc

pour n = 5, on obtient le nombre 4 294 967 297 qui est divisible par 641 (démontré par Euler en 1732). En fait aucune formule très simple ne convient. Le document ci-dessous en propose quelques unes. On montre par exemple qu'aucune fonction polynôme ne donne que des nombres premiers sauf dans le cas trivial où la formule est constante. En 1947, W. Mills étonne la communauté mathématique en établissant l'existence d'une constante A qui, insérée dans une formule, donne un nombre premier pour

61 -» c. x - 3, 41 + Signe de f ¢( x ) - 0, 59 - 0 0 +» + ª 6, 66 Variations de f ª - 4 , 66 d. Les variations de f sont déduites du signe de sa dérivée f ¢. 4. Voir activité 2. Pour aller plus loin a. f est dérivable comme fonction polynôme définie sur ‫ޒ‬. b. L’ordonnée du point M peut être lue grâce à la courbe G mais c’est aussi la pente de la tangente à Ꮿ au point A. c. Sur un intervalle où la courbe G est en dessous de l’axe des abscisses, la fonction f est décroissante. Activité

2- Mobiliser des compétences en algèbre et en analyse pour résoudre des problèmes concrets. 1.2.1- Résoudre un problème concret dont la situation est modélisée par une suite arithmétique ou géométrique. 1.2.2- Résoudre algébriquement et graphiquement une équation du second degré à une inconnue et déterminer le signe du polynôme associé. 1.2.3- Utiliser la représentation graphique de fonctions, ou leur expression algébrique, pour résoudre des équations et des inéquations. 1.2.4- Maîtriser graphiquement

10 12 12 14 16 20 23 23 24 25 27 Résumé des instructions Java de base 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 1.3.8 1.3.9 1.3.10 1.3.11 Les commentaires Les types de données primitifs (ou de base) Les constantes symboliques Les opérateurs arithmétiques, relationnels, logiques Les problèmes de dépassement de capacité (à l’exécution) Le transtypage (cast) Les chaînes de caractères : class String Les tableaux à une dimension Les tableaux à plusieurs dimensions Les instructions de contrôle (alternatives

jusqu’au sixième ordre.2 n 2 3 4 5 6 a0 1 1 1 1 1 a1 √2 2 2.6131 3.2361 3.8637 a2 1 2 3.4142 5.2361 7.4641 a3 1 2.6131 5.2361 9.1416 a4 a5 Parate aqui cabroncete : a6 1 3.2361 7.4641 1 3.8637 1 2.2.1.2. Filtres de Tchebychev : Les polynômes de Tchebychev ont l’avantage d’une réponse uniforme tout au long de la bande passante. La réponse en amplitude des filtres de Tchebychev oscille entre deux valeurs dans la bande passante. Le nombre d’oscillations dans cette bande dépend de l’ordre

prévisions sur le court terme d’ une grandeur chronologique à travers un ajustement de la série par une forme fonctionnelle implicite ou explicite du temps. La prévision s’ obtient après détermination d’ une fonction f (:) souvent sous la forme d’ polynôme en t : un yt = f (t) + ut et après estimation des paramètres apparaissant dans f (t), selon une méthode de moindres carrés accordant un poids plus important aux observations les plus récentes. Comme nous le verrons plus loin, cela revient à admettre

construisant une fonction de paramètres l'expression de f ( x) , de a , de b , de epsilon , et de résultat une valeur approchée d'une solution de f ( x ) = 0 à epsilon près . 1 ( 2 Divers 3  0.10 thème : Schéma de Horner . On représente un polynôme P = a0+ a1X + ..... + an Xn par la suite ( a0 , a1 , ..... , an ) . Pour P donné et x réel , on désire calculer P ( x ). Méthode 1 Additionner les différents monômes. Méthode 2 Remarquer que : P ( x ) = ( ( ... ( ( ( an) x + an1 ) x an2 ) ...

- OBC SESSION 2009 EXAMEN : Baccalauréat D Épreuve de Mathématiques Durée : 4 heures Coefficient : 4 L’épreuve comporte deux exercices et un problème obligatoires sue deux pages EXERCICE 1. / 04 points On considère la fonction polynôme P à variable complexe définie par : P(z) = z3 – (6 + 6i)z2 + 2iz + 15 – 5i 1. Calculer P(i). 2. En déduire que P(z) = (z - i) (az2 + bz + c) où a, b et c sont des nombres complexes que l'on déterminera. 3. Résoudre dans Z l'équation z2 -(6 + 5i)z