Arithmétique des polynômes

..................................................................... 229 chapitre 12. Fluctuation et estimation .............................................................................. 245 Enseignement de spécialité partie a Arithmétique ...................................................................................................... 259 chapitre 1. Divisibilité dans ℤ, division euclidienne, congruences ....................... 261 chapitre 2. Applications chapitre

-eiq = eip eiq = ei(q + p) donc |-eiq| = 1 et arg(-eiq) = q + p. eiq eiq c.  = eiq⋅ei(-q¢)  = ei(q - q¢) donc | | = 1 et i q¢ e eiq¢ eiq arg( ) = q – q′. eiq¢ iq¢ uµ uuur uuuur 4 (OM ; OM¢) = arg e  = q′ – q. eiq Travaux pratiques 1TP TICE 1  Des polynômes symétriques 1 a. Les racines de f sont les abscisses des points communs de la courbe avec l’axe des abscisses. Il y a deux racines réelles si et seulement si c > 2 ou si c < –2. Elles semblent avoir le même signe et plus l’une est grande, plus

s’écrire sous la forme : Φ ( L) yt = ∑ Φ k ( L)xtk + ε t k =1 K où yt est le logarithme de l’agrégat macroéconomique considéré Yt , xtk celui de son kème X tk et ε t un résidu. L est l’opérateur retard et Φ( L) et Φ k ( L) sont des polynômes retard fonctions des paramètres estimés, Φ ( L) étant inversible. L’équation déterminant s’écrit de manière équivalente : y t = ∑ Φ ( L) −1 Φ k ( L) xtk + Φ ( L) −1 ε t k =1 K et par conséquent : ∆y t = Φ ( L) −1 Φ 1 ( L)∆xt1 + ...

365(365−1) · · · (365−n+1) = 365n n−1 (1− k=1 k ) = exp 365 n−1 log(1− k=1 k ). 365 Si n n’est pas grand, une évaluation approximative de cette somme se fait en remplaçant log(1 − x) par −x et en utilisant la somme d’une progression arithmétique étudiée en Terminale n−1 1 k = n(n − 1) ∼ n/2, 2 k=1 10 www.L es-M athematiques.net 2.2. LE CAS ÉQUIPROBABLE. qui conduit à l’approximation P (Ac ) ∼ exp(−n/730). Pour voir par exemple pour √ quel n on a P (Ac ) ∼ 1/2 on prend n ∼ 730

= 3 − un 1 9 −3 6 − un 3(un − 3) − 6 − un 1 1 = − un − 3 3un − 9 un − 3 1 =− . 3 1 Ainsi, pour tout n ∈» , v n +1 = v n − et la suite (v n ) est arithmétique de 3 raison − 1 1 1 et de terme initial v 0 = =− . u0 − 3 3 6 1 1 1 donc un − 3 = ou encore un = + 3. b) Pour n ∈» , on a v n = un − 3 vn vn 1 1 La suite (v n ) étant arithmétique de raison − et de terme initial v 0 = − , on 3 6 1 n obtient que pour tout n ∈» , v n = − − et on en déduit que lim v n = −∞ . n →+∞ 6 3  1  1 Par inversion

décimale de 3(N + 1)/4. Le troisième quartile, Q3 (x) ou Q0,75 (x), d’une série statistique est défini par Q3 (x) = x(m ) + d (x(m +1) − x(m ) ). 116 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches 2 2 • Moyenne arithmétique La moyenne, µ(x) ou parfois notée simplement µ , d’une distribution statistique p p 1 xi f i = xi n i . Pour une stadiscrète est le nombre réel défini par µ(x) = N i=1 i=1 p tistique groupée, la moyenne se calcule par µ(x) = i=1 ai + ai+1

politiques de la France sans, pour autant, omettre les apports de la globalisation. L'habitude de diviser le temps historique par siècles doit s'accompagner d'une réflexion sur ce qui distingue une période que ne bornent jamais les limites arithmétiques d'un siècle. Il présente le « Beau XVIe siècle » et les guerres de religion en Europe, puis la société d’Ancien Régime jusqu’au règne de Louis XVI quand la révolution fait tout basculer. Nous aborderons ensuite la question d'un « long XIXe siècle

Après une mesure (ou un comptage), on dispose de données que l’on peut présenter sous la forme de tableaux, de nuage de points, d’histogramme… Pour succinctement décrire les mesures, on calcule des paramètres dit de statistique descriptive. Moyenne arithmétique : x = 1 n 1 n n ∑x i (variable discrète) i=1 1 n Moyenne quadratique : x q = Ecart type : σ = n n ∑x 2 i i=1 ∑ (x − x ) 2 i i=1 Variance (carré de l’écart-type) : σ 2 = 1 n  n n  i=1  1 ∑ (xi − x )2 =  ∑ xi2 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... 119 5.3.1 Caractéristiques de tendance centrale ..................... , ........ 120 5.3.1.1 La médiane ........................................... 120 5.3.1.2 La moyenne arithmétique ................................ 120 5.3.1.3 Le mode ............................................. l21 5.3.2 Caractéristiques de dispersion .................................... 121 5.3.2.1 L'étendue ou intervalle de variation .................

dé+adéquation, France rempl. 2005 67 Fesic 2003 : Exercice 11 67 Fesic 2003 : Exercice 13 67 Fesic 2003 : Exercice 14 68 Note : l’orthographe française est compliquée… le mot binome peut s’écrire de dix manières différentes (et ne parlons pas des polynomes et consorts). Aussi, et j’engage fortement mes lecteurs à procéder de même, j’ai décidé de supprimer l’accent circonflexe dans tous les cas… (ainsi que l’Académie Française le recommande d’ailleurs lorsque ce dernier n’est pas nécessaire). Terminale