Arithmétique des polynômes

2.2 Polynôme d’un endomorphisme Définition 10 n Soit P ∈ K[X], tel que P = ak X k et u un endomorphisme de E. On note P(u) k=0 l’endomorphisme défini par n ak u k . P(u) = k=0 8 Réduction des endomorphismes Proposition 7 Soient P, Q ∈ K[X], l, m ∈ K et u ∈ L(E), on a les égalités (lP + mQ)(u) = lP(u) + mQ(u) (PQ)(u) = P(u) ◦ Q(u). Preuve ❑ C’est une conséquence de la structure d’algèbre de L(E). Définition 11 On dit qu’un polynôme P est un polynôme annulateur

Corrigé Séquence 3 – MA12 Exercice IV ᕡ Quand on calcule la valeur du polynôme pour x = 1, on trouve 13 − 13 × 1+ 12 = 0, donc 1 est une racine du polynôme. Pour déterminer trois réels a , b  et  c tels que, pour tout réel x , on ait l’égalité x 3 − 13x + 12 = ( x − 1)(ax 2 + bx + c ), on développe le produit. On a ( x − 1)(ax 2 + bx + c ) = ax 3 + ( −a + b )x 2 + ( − b + c )x − c . Pour obtenir le polynôme x 3 − 13x + 12, il suffit de choisir les coefficients a , b  et  c de façon

les mêmes configurations que le bit de retenue. Il est donc possible de simuler une addition binaire (arithmétique binaire) avec les deux opérateurs "" et "". Nous venons de construire un demi-additionneur ou additionneur sur un bit. Nous pouvons donc réaliser le circuit logique simulant la fonction complète d’addition binaire, nous l’appellerons " additionneur binaire "(somme arithmétique en binaire de deux entiers en binaire). schéma logique d’un demi-additionneur b)Additionneur complet

z (x 2) = m .  désigne la courbe f . et ¢n = n–1 / i=0 (R¢i  ). p. 113, exercice résolu 1, 1. et 2. Les 6 dernières lignes du 2. sont les 6 dernières lignes du 1. p. 114, exercice résolu 3, 1. (u n) est une suite arithmétique donc pour tout n et p entiers, on a u n = u p + (n − p) r . D’où u32 = … p. 120 8. Dans l’algorithme : A + 2 → A 9. Dans l’énoncé : … et u 0 = 0 . À l’aide d’un tableur, on calcule les premiers termes. On a : p. 137, exercice 138.

la moyenne arithmétique ; mais il existe d’autres types de moyennes, chacune d’entre elles ayant la propriété de conserver une caractéristique de l’ensemble quand on remplace chaque élément de l’ensemble par cette valeur unique ; chaque moyenne n’a donc d’intérêt que pour autant que cette propriété soit utile 1. Les « moyennes » sont des valeurs abstraites qui, sauf par hasard, ne correspondent à aucune réalisation concrète. 1) La moyenne arithmétique On appelle moyenne arithmétique la somme de

est de dimension finie, alors L est fermé. dθ 4. L’espace L2 (0, 2π; 2π ) est un espace de Hilbert, séparable (théorème de RieszFischer). 5. Si f est dans L2 et Sj = |k|≤j f (k) exp(kiθ) sa j e somme partielle de Fourier, et gN la moyenne arithmétique des N + 1 premiers Sj alors gN est la convolution de f avec le noyau de Fejér KN (θ) = 2 N +1 θ 2 1 sin N +1 sin2 1 θ . 2 dθ 6. En utilisant la positivité du noyau de Fejér et 0 KN (θ) 2π = 1 on montre aisément que gN tend vers f au sens L2

une variable statistique quantitative. , la moyenne est la moyenne Pour une variable statistique discrète {(xi, ni)}1 ≤ i ≤ p à valeurs dans arithmétique des modalités pondérées par les effectifs : = ni xi = X (ω), avec N = ni. q Pour une variable statistique discrète {((xij)1 ≤ j ≤ q, ni)}1 ≤ i ≤ p à valeurs dans encore la moyenne arithmétique des modalités dans q , la moyenne est , pondérées par les effectifs : = ni = = . est le "point moyen" qui résume le

ne se définit que pour une variable statistique quantitative. Pour une variable statistique discrète {(xi, ni)}1 ≤ i ≤ p à valeurs dans arithmétique des modalités pondérées par les effectifs : = ni xi = , la moyenne X (ω), avec N = ni. q Pour une variable statistique discrète {((xij)1 ≤ j ≤ q, ni)}1 ≤ i ≤ p à valeurs dans encore la moyenne arithmétique des modalités dans = ni est la moyenne , la moyenne est q , pondérées par les effectifs : = = . est le "point moyen" qui résume

carrés. Exercice 45 [ 00140 ] [correction] [Idéaux premiers] Un idéal I d’un anneau commutatif (A, +, ×) est dit premier si, et seulement si, ∀x, y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I a) Donner un exemple d’idéal premier dans Z. b) Soit P ∈ K [X] un polynôme irréductible. Montrer que P.K [X] est premier. c) Soient J et K deux idéaux de A. Montrer J ∩ K = I ⇒ (J = I ou K = I) d) Soit (A, +, ×) un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que A est intègre puis que A est un corps. Exercice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Les fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.3 Racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4