ARMA

-0.007 115.27 0.000 .|. | .|. | 20 0.028 0.020 115.78 0.000 Au vue de l’autocorrélogramme, nous décidons de tester différents processus ARMA pour des retards p et q allant de 0 à 7. Nous allons donc estimer les processus suivants : AR(1), AR(2),…,AR(7), MA(1),MA(2),…,MA(7),ARMA(1,1), ARMA(1,2) ARMA(2,1), …,ARMA(7,7). Rappelons que pour qu’un modèle soit validé, il faut que les coefficients AR et/ou MA soient tous significatifs, et que le terme d’erreur soit non autocorrélé

avec second membre à l’équation stochastique AR(∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Equation différentielle stochastique et processus AR . . . . . . 7. Décomposition de Wold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Les processus ARMA univariés 1. Quelques outils . . . . . . . . . . 2. Les processus AR . . . . . . . . . 2.1. Etude du processus AR(1) 2.2. Etude du processus AR(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

variées et multi variées. La modélisation univarié de Box-Jenkins concerne les processus ARIMA (p,d,q) ou ARMA(p,q) dont la partie autorégressive est notée AR, est constituée par une combinaison linéaire finie des valeurs passées du processus. La partie moyenne mobile, notée MA, est constituée d’une combinaison linéaire finie en t des valeurs passés d’un bruit Blanc. Wold (1954) montre que les model ARMA permettent de représenter la plupart des processus stationnaire. L’Approche de Box et Jenkins (1976)

partielle de MA (q) est diminuée géométriquement (exponentiellement)c. les modèles ARMA (p.q.): Ces processus constituent une extension naturelle des processus AR et MA. Ce sont en effet des processus mixtes dans le sens où ils incorporent simultanément des composantes AR et MA- ce qui permet d’obtenir une description plus parcimonieuse des données. ARMA(p ,q) ; Résumé ProcessusACF(FAC)PACF(FACP)AR(p)DécroissanceExponentielle et/ouSinusoïdalePics significatifs

MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Processus ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repr´sentation MA(∞) et r´ponse impulsionnelle e e 6.5 Saisonnalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.5.1 Saisonnalit´ multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Annexe : simulation de processus ARMA dans SAS . . . . . . . Simulation d’un MA . . . . . . . . . . .

…………………………………………….. 2.2.7.1 Modèle autorégressif : Processus AR(p) …………………………………... 2.2.7.2 Modèle moyenne mobile : Processus moyenne mobile MA(q) …………… 2.2.7.3 Modèle autorégressif – moyenne mobile : ARMA(p,q) …………………... 2.2.7.4 Processus ARIMA et SARIMA …….……………………………………... 2.2.8 Identification et estimation des paramètres ………………………………………... 2.2.8.1 Identification du modèle : Méthode de Box & Jenkins ……………………

1 : Considérons les séries yt et {xt}, telles que yt est décrite par un modèle AR(1) : yt = ϕ1yt−1 + ϵt, et xt par un modèle ARMA(4,1) : xt = βxt−4 + µt + θϵt−1, où ϵt un bruit blanc, et |ϕ| < 1, |β| < 1, et |θ| < 1, pour garantir la stationnarité et l’inversibilité de yt et xt. Montrer que la variable zt définie par zt = yt + xt peut être décrite par un modèle ARMA(5,4). � On peut écrire yt = ϕ1yt1 + ϵt, comme

statistique spatiale est le choix entre mod`les stochastiques et d´terministes (qui peuvent ˆtre vues en effet comme cas particuliers e e e simples des premiers). Le deuxi`me dilemme est le choix entre mod´lisation globale (r´gression, e e e mod´lisation ARMA)et mod´lisation locale, par exemple par splines (qui change en effet de mod`le e e e quand cela semble opportune). Nous allons aborder ces th`mes dans le contexte des s´ries temporelles uni-dimensionelles, e e en comencant par l’approche d’interpolation

d'une manière quelconque : Aucune conclusion. 2- La méthode de Box et Jenkins Un processus ARIMA(p,d,q) est défini par [pic], δ(B) est un opérateur de différence de puissance d dont le module de ses racines est égale à 1 et [pic]est un processus ARMA(p,q) défini par : [pic] = φ1[pic] + … + φp[pic]yt-p + ζt + θ1ζt-1 + … + θqζt-q t = 1,...,n. ζt est un bruit blanc de moyenne nulle et de variance σ2 et yt est une série observable. Les paramètres φ1, … φp, θ1, … θq sont des réels, B étant l'opérateur

Heureusement la representation de Wold n’est qu’une representation possible, et non la plus optimale. Dans la pratique donc, il convient de rechercher d’autres représentations possibles. Parmi les représentations les plus utilisées figurent les processus ARMA(Autoregressive Moving Average). Dans cette forme on a une juxtaposition d’une composante AR(Autotegressive) d’ordre fini et d’une composante MA(Moving Average) d’ordre fini. 2.3 Comprendre vos Données Avant même de commencer l’analyse, essayez de