Associativité

ci-dessous présente les différents opérateurs du language C# avec leur associativité dans l'ordre de leur priorité (du premier évalué au dernier). Les opérateurs situés dans le même bloc ont la même priorité. Code de couleur : • Les opérateurs en rouge ne peuvent être surchargés. • Les opérateurs en bleu ne peuvent être surchargés de la manière classique (mot-clé operator), mais d'une autre manière. Opérateurs Description Associativité :: Qualificateur d'alias d'espace de noms de gauche à droite

|appropriées des nombres. | | |Utiliser des propriétés des opérations |Compensation, commutativité, associativité (addition, soustraction) | |Choisir avec pertinence le calcul mental le calcul écrit la |Manipulation de la calculatrice | |calculatrice en fonction de la situation

P(E). L’intersection de A et B, notée A ∩ B, est l’ensemble des éléments appartenant à A et à B : A ∩ B = {x ∈ E; x ∈ A et x ∈ B}. Proposition III.1.6. — Soient E un ensemble et A, B ∈ P(E). Si A ⊂ B, alors A ∩ B = A et A ∪ B = B. Proposition (associativité) III.1.7. — Soient E un ensemble et A, B, C ∈ P(E). On a (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Remarque III.1.8. — On généralise ainsi la notion d’union et d’intersection à plusieurs sous-ensembles. Proposition (distributivité)

les cas particuliers φ = 0, φ = π/2 et φ = π. Connaître les expressions du périmètre d’un cercle, de l’aire d’un disque, de l’aire d’une sphère, du volume d’une boule, du volume d’un cylindre. Connaître la définition du barycentre. Utiliser son associativité. Exploiter les symétries pour prévoir la position du barycentre d’un système homogène. (cette capacité sera développée par le professeur de physique, l’étude du barycentre n’étant pas traitée en mathématiques). Outils mathématiques 5. Trigonométrie

13.1 Séparer d’abord l’équivalence logique demandée en deux implications, la seconde revenant à appliquer la première à B et C à la place de B et C respectivement. 13.5 13.6 13.7 Appliquer le résultat de l’exercice 13.4, en groupant par associativité : (h ◦ g) ◦ f, h ◦ (g ◦ f ). Raisonner sur les ensembles, partant de A ∪ B = A ∪ C, pour déduire A ∪ B = A ∪ C, à l’aide des opérations sur les parties de E. On peut aussi raisonner sur les éléments : supposer A ∪ B = A ∪ C, considérer x ∈ A

X S 90 a b Ancienne NF Suite Philippe.grare@univ-reims.fr 15 Poly SY12 CM 2010 2011 12/09/2010 Propriétés de l’algèbre de BOOLE x.( y.z ) = ( x. y ).z = x. y.z Propriétés de l’algèbre de BOOLE Idempotence : Associativité : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z = x + y + z Commutativité : x. y = y.x x+ y = y+x x+x = x x.x = x x+0= x x .0 = 0 x +1 = 1 x .1 = x x x x x S1 S1 x 0 x 0 Élément neutre : 0 Distributivité : x.( y + z ) = x. y + x.z x+

B et on note A ∩ B l’ensemble contenant les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B : A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}. Proposition 2.1.1. Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. – Commutativité : A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A. – Associativité : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C et A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. – Distributivité : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Définition 2.1.6. Soient A une partie d’un ensemble E. On appelle com¯ plémentaire de A dans E et

13.1 Séparer d’abord l’équivalence logique demandée en deux implications, la seconde revenant à appliquer la première à B et C à la place de B et C respectivement. 13.5 13.6 13.7 Appliquer le résultat de l’exercice 13.4, en groupant par associativité : (h ◦ g) ◦ f, h ◦ (g ◦ f ). Raisonner sur les ensembles, partant de A ∪ B = A ∪ C, pour déduire A ∪ B = A ∪ C, à l’aide des opérations sur les parties de E. On peut aussi raisonner sur les éléments : supposer A ∪ B = A ∪ C, considérer x ∈ A

est la donnée d’un ensemble G et d’une loi de composition interne notée ∗ suivante : G×G → (x, y) G → x∗y telle que (G, ∗) vérifie les trois propriétés suivantes : (1) (Elément neutre) Il existe e ∈ G tel que ∀x ∈ G, e ∗ x = x ∗ e = x. (2) (Associativité) Pour tout x, , y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). (3) (Elément inverse) Pour tout x ∈ G, il existe x′ ∈ G tel que x ∗ x′ = x′ ∗ x = e. Si de plus, ∀x, y ∈ G, on a x ∗ y = y ∗ x,on dit que ∗ est commutative et (G, ∗) est un groupe commutatif

donnée d’un ensemble G et d’une loi de composition interne notée ∗ suivante : G×G → (x, y) G → x∗y telle que (G, ∗) vérifie les trois propriétés suivantes : (1) (Elément neutre) Il existe e ∈ G tel que ∀x ∈ G, e ∗ x = x ∗ e = x. (2) (Associativité) Pour tout x, , y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). (3) (Elément inverse) Pour tout x ∈ G, il existe x ∈ G tel que x ∗ x = x ∗ x = e. Si de plus, ∀x, y ∈ G, on a x ∗ y = y ∗ x,on dit que ∗ est commutative et (G, ∗) est un groupe commutatif