Associativité

On définit la somme de deux matrices A, B ∈ Mn,p ( ) et on note A + B la matrice de Mn,p ( ) suivante : ∀i ∈ 1, n ∀ j ∈ 1, p (A + B)i, j = Ai j + Bi j Proposition B.3 Pour toute matrice A, B, C ∈ Mn,p ( ), on a : • (A + B) + C = A + (B + C) (associativité) ; • A + 0n,p = 0n,p + A = A (existence d’un élément neutre) ; • l’existence d’une matrice notée −A telle que A + (−A) = (−A) + A = 0n,p (existence d’un symétrique) ; • A + B = B + A (commutativité). Définition B.4 Soit A ∈ Mn,p ( ) et λ ∈ . On

de quatre propriétés attachées à la coordination d’actions : Réversibilité : Une action AB peut être annulée par son inverse BA. Identité : AB + BA, donne un déplacement nul AA Composition : AB et BC, se coordonne en une seule action AC Associativité : Dans la suite ABCD, on a AB + BD = AC + CD, on peut passer de A en D par des actions différentes Le groupement est une sorte de groupe incomplet : L’associativité n’est pas complète. La période de pensée intuitive est caractérisée par

B, on adopte alors la convention suivante pour construire des équations logiques : NON ET OU,  A A⋅B A B ET-NON, OU-NON, OU-EXCLUSIF A⋅B=AB AB=A⋅B A B A⊕ B Les différentes opérations bénéficient des propriétés suivantes Associativité : Commutativité :  A⋅B⋅C= A⋅B⋅C  A B C= A BC  A ⊕ B⊕C=A ⊕ B ⊕C Distributivité : A⋅B =B⋅A A B= B A A ⊕ B= B ⊕ A Lois de De Morgan : A⋅B=B⋅A A B= B A A B⋅C = A B ⋅ AC  A⋅ BC = A⋅B A⋅C A⋅B= AB A B=

solidarité. Ainsi, quand pb sur une machine, entraide. Elles s’étaient entendu (sans en parler) sur la production : réduction de l’amplitude de leur productivité personnelle, la pté est réglée les unes sur les autres -> norme de production commune. [associativité et production commune] effet « hawthorne » Les salariés réagissent positivement au fait que la direction/cadres s’interressent à eux. <- 2nde phase 3eme phase : phase des interviews, des salariés des usines (presque 20 000 personnes) . Au

appelle barycentre de la famille $(P_i, \lambda_i)$ le point G. L'isobarycentre .... . Le milieu .... - Remarque : Le milieu est une "notion affine", i.e. ne fait intervenir que des points et des vecteurs et non pas des "longeurs". - Lemme (associativite des barycentres) [Demonstration laissee en exercice] 1.2 Sous-espaces affines - - - - - - - - - - - - - On fixe un espace affine \mathcal{E} de direction E. - Lemme : Pour une partie non vide \mathcal{F} de \mathcal{E}, on a equivalence

associée) Soit A ∈ fA ∈ ( p , n,p ( n ), on appelle application linéaire canoniquement associée à A l’application linéaire ) dont la matrice dans les bases canoniques de p et n , est A. 3) Propriétés du produit matriciel • « Associativité » : Si A ∈ n,p ( ), B ∈ p,q ( ) et C ∈ q,r ( ), alors : n,r ( A × (B × C) = (A × B) × C ∈ ). Preuve: Soit f ∈ ( p , n ) l’application linéaire canoniquement associée à A, g ∈ ( q , p ) canoniquement associée à B et h ∈

produit vectoriel  ?? ∧ ??, nous aurions trouvés le vecteur  −??. Distributivité  par  rapport  à  l’addition  vectorielle ⃗ + ⃗ ∧ ⃗ =   ⃗ ∧ ⃗ + ⃗ ∧ ⃗ ? ? ? ? ? ? ? ⃗ De même,  ? ∧ ⃗ + ⃗ =   ⃗ ∧ ⃗ + ⃗ ∧ ⃗ ? ? ? ? ? ? Associativité des scalaires ⃗ On considère : un vecteur  ?, un vecteur ⃗ et deux réels notés ? et  ?. ? On a alors : ⃗ ⃗ ⃗ ? (??) ∧ (??) = (??)(? ∧ ⃗) Produit vectoriel de 2 vecteurs colinéaires Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est

(division entière) dans * ou *. o dans l'ensemble des applications de E dans E. ∩ dans l'ensemble E = (Ω) des parties d'un ensemble Ω. ∪ dans l'ensemble des parties d'un ensemble. ∧ (produit vectoriel) dans l'espace euclidien orienté de dimension 3 b) Associativité : Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée *. Cette loi est dite associative si : ∀ a ∈ E, ∀ b ∈ E, ∀ c ∈ E, (a * b) * c = a * (b * c) L'intérêt d'une telle notion est que les parenthèses deviennent inutiles, la notation a

vectoriel. Le produit de la matrice A ∈ Mm,n (R) par la matrice B ∈ Mn,p est une matrice C = AB ∈ Mm,p (R) d´finie par cij = n aik bkj . La multiplication des matrices n’est pas commutative. Elle a par contre e k=1 toutes les autres bonnes propri´t´s(associativit´, l’existence de l’´l´ment neutre : la matrice carr´e  e e ee e e 1 0 ... 0  0 1 ... 0    not´e I ou In =  . . e e a .  ∈ Mn,n (R), distributivit´ par rapport ` la somme ....) . . .   . . . 0 0 ... 1 Une matrice carr´e A est dite inversible

In =  . . . 0 Théorème 0 1 . . . 0 1 0 1 0 = 0 . 0  0 0  .  carrée de taille n. . . ··· ··· .. . ··· 1 (Propriétés du produit matriciel) Sous réserve de compatibilité des formats : • Associativité : Soient A ∈ Mp,q (K), B ∈ Mq,r (K), C ∈ Mr,s (K) et λ ∈ K. (AB)C = A(BC) et λ(AB) = (λA)B = A(λB). • Bilinéarité : Soient A, B ∈ Mp,q (K), C ∈ Mq,r (K) et λ, µ ∈ K. et (λA + µB)C = λAC + µBC • Elément neutre : Soit A ∈ Mn,p (K)