Associativité

applications injectives, surjectives, bijectives. Application r´ciproque d’une bijection. Compos´e de e e deux injections, de deux surjections, de deux bijections. Images directe et r´ciproque d’une partie. e D´finition d’une loi de composition interne. Associativit´, commutativit´, ´l´ment neutre. D´finition des ´l´ments e e e ee e ee inversibles pour une loi associative admettant un ´l´ment neutre. ee Relation d’ordre, ordre total, ordre partiel. Majorants, minorants, plus grand et plus petit ´l´ment. ee

transmet ou elle inverse l’état de l’entrée (B). 4.1.b Identités remarquables Les trois opérations de base obéissent à des règles (les axiomes) qui constituent l’algèbre de Boole. Les théorèmes sont des conséquences de ces axiomes. Axiomes associativité : ABC = (AB)C = A(BC) A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C) commutativité : AB = BA A+B = B+A distributivité : factorisation : complémentation : A(B+C) = AB+AC A+BC = (A+B)(A+C) 1=0 Théorèmes involution : éléments absorbants : A=A A0 = 0 A+1 = 1 idempotence

et on note A ∩ B l’ensemble contenant les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B : A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}. Proposition 6.1.1. Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. – Commutativité : A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A. – Associativité : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C et A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. – Distributivité : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Définition 6.1.6. Soient A une partie d’un ensemble E. On appelle com¯ plémentaire de A dans E

x + y = y + x 2. (x + y) + z = x + (y + z) 3. 0Rn + x = x + 0Rn = x 4. x + (−x) = 0Rn 5. λ(x + y) = λx + λy 6. (λ + µ)x = λx + µy 7. (λµ)x = λ(µx) 8. 1x = x La propriété 1 exprime la commutativité de l’addition, et la propriété 2 exprime son associativité. La somme x1 + · · · + xk d’un nombre fini de n-uplets est ainsi bien définie, et ne dépend ni de l’ordre dans lequel les vecteurs sont additionnés, ni de l’ordre dans lequel les additions sont effectuées (aucun parenthésage n’est donc nécessaire)

A deux éléments de E, on associe un troisième élément de E. On note une loi de composition interne sous forme d’opération plutôt que sous forme d’application : z = x ∗ y. Les propriétés usuelles d’une loi ∗ de composition interne sur E sont : associativité : ∀x, y, z ∈ E, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) En un mot, on peut, dans un calcul, regrouper les termes comme on veut, sans changer leur ordre. Il est pratiquement impossible de travailler avec une loi qui n’est pas associative. commutativité : ∀x,

hypoth`se, e il existe un entier naturel u tel que n = m + u et un entier naturel v tel que p = n + v. Alors, par associativit´, p = m + (u + v), ce qui entraˆ m ≤ p. e ıne 3. Soit m et n deux entiers naturels tels que m ≤ n et n ≤ m. Par d´finition de la relation e d’ordre, il existe deux entiers u et v tels que n = m + u et m = n + v. Par suite n = (n + v) + u = n + (v + u), par associativit´. Par une proposition d´j` obtenue ` propos de e ea a l’addition, on en d´duit que v + u = 0. Par une autre proposition

d’asymptotes à partir de l’équation r = f(θ). Connaître les expressions du périmètre d’un cercle, de l’aire d’un disque, de l’aire d’une sphère, du volume d’une boule, du volume d’un cylindre. Connaître la définition du barycentre. Utiliser son associativité. Exploiter les symétries pour prévoir la position du barycentre d’un système homogène. (cette capacité sera développée par le professeur de physique, l’étude du barycentre n’étant pas traitée en mathématiques). Capacités exigibles Définir

spécifiques à chaque type de fonction. Par exemple pour la création de la fonction « Trou », il faut saisir le diamètre, la profondeur et l'emplacement, tandis que pour un arrondi il faut spécifier le (ou les) rayon(s) et les arêtes à arrondir. Associativité Créo est un système entièrement associatif. Toute modification apportée au modèle de conception au cours du processus de développement est propagée à l'ensemble de la conception, mettant automatiquement à jour tous les éléments de la conception

n’ayant pas le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. 9.2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES Propositions Soit (A, B, C) ∈ (Mn,p (R))3 . On note Θ la matrice nulle de Mn,p (R). On a alors : – Commutativité de l’addition : A+B =B+A – Associativité de l’addition : A + (B + C) = (A + B) + C On peut donc omettre les parenthèses. – Élément neutre : A+Θ=Θ+A=A – Opposé : ∃A ∈ Mn,p (R)/A + A = A + A = Θ L’opposé de la matrice A = (ai,j ) se note −A et est la matrice (−ai,j ). Preuves On écrit,

d 3τ avec • la masse volumique. M τ Si la distribution de masse est discrète on le calcule par OC = On peut aussi écrire M = ∫∫∫ ρ ⋅ d τ et donc OC = 3 τ ∫∫∫ ρ ⋅ OA ⋅ d τ 3 τ ∫∫∫ ρ ⋅ d τ 3 τ 5.2 Propriétés du centre d’inertie Associativité : Deux systèmes de centres et de masses respectifs C1 ,C2 ,m1,m2 ont pour centre de masse : OC = 1 m OC + m2 OC2 m1 + m2 1 1 ρ ( A) = ρ (s( A) ) ( ) Symétrie matérielle : Si un système possède un élément de symétrie matérielle qui