Associativité

B}. – La r´union de A et de B est l’ensemble A ∪ B = {x tel que x ∈ e A ou x ∈ B}. Propri´t´ 2 Soit A, B et C trois ensembles. e e – Il y a commutativit´ de la r´union, soit A ∪ B = B ∪ A, et de e e l’intersection, soit A ∩ B = B ∩ A. – Il y a associativit´ de la r´union, soit (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), e e et de l’intersection, soit (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). – Il y a distributivit´ de la r´union par rapport ` l’intersection, soit e e a A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et de l’intersection par rapport

GAi = 0 i =1 N OG = 1 ∫ OAρdV MV V ∫ GAρdV = 0 A, dm • Remarque : la définition du point G est indépendante du point O 26 ©FSTF(Aboutajeddine) 2011. Mécanique d’ingénierie B) Propriétés du centre de masse a) Associativité -Si l’on note GK les centres de masse de divers systèmes SK de masse respectives MK deux à deux sans élément commun, le centre de masse de la réunion des SK est celui des GK affectés des masses MK . OG = 1 M ∑M k =1 N k OG k b)

Démonstration Montrons seulement quelques-uns des axiomes de la définition. • Montrons que + est associative. Soient f, g, h ∈ E X . Pour tout x ∈ X : (f + g) + h (x) = (f + g)(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) par associativité de (E, +) Cela montre bien que (f + g) + h = f + (g + h). = f (x) + (g + h)(x) = f + (g + h) (x). • Montrons que + est commutative. Soient f, g ∈ E X . Pour tout x ∈ X : par commutativité de (E, +). Comme voulu : (f +g)(x) = f (x)+g(x)

( 2 p + ps – p0 ) ----------vp- = ------------------------------------------------2 qα dε s avec dεps p dεp p* 0 s dεpvs α respectivement les incréments de déformation plastiques volumiques et de cisaillement, paramètre définissant la non-associativité et assurant des déformations latérales nulles lors d’un chemin œdométrique. SI dεpvp LC p p d ε v et d ε s Loi d’écrouissage : — loi d’écrouissage en chargement : ● p a vue tridimensionnelle de la surface de charge du modèle de Barcelone

∈ K et d’un vecteur u ∈ E, on nous fournit un autre vecteur, qui sera noté λ · u. Axiomes relatifs à la loi interne. 1. Commutativité. Pour tous u, v ∈ E, u + v = v + u. On peut donc additionner des vecteurs dans l’ordre que l’on souhaite. 2. Associativité. Pour tous u, v, w ∈ E, on a u + (v + w) = (u + v) + w. Conséquence : on peut « oublier » les parenthèses et noter sans ambiguïté u + v + w. 3. Il existe un élément neutre, c’est-à-dire qu’il existe un élément de E, noté 0E , vérifiant : pour tout

Proposition 1.1. Soient A, B et C trois sous ensembles de Ω. On a 1/ A ∩ A = A 2/ A ∪ A = A 3/ A ∩ B = B ∩ A (commutativité de l’intersection) 4/ A ∪ B = B ∪ A (commutativité de l’union) 5/ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativité de l’intersection) 6/ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativité de l’union) 7/ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Distributivité de l’union sur l’in- tersection) 8/ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivité de l’intersection sur l’union) 9/ A ∩ B = A ∪ B 10/ A ∪ B =

en parall`le. Les diagrammes suivants montrent la n´cessit´ des e e e e axiomes de semi-anneau. u|β q1 → Diagramme a|α Identit´ e α + (β + γ) = (α + β) + γ α+β =β+α α+0=α Nom Associativit´ de + e Commutativit´ de + e ´e El´ment neutre (droite) de + ´e El´ment neutre (gauche) de + Associativit´ de × e Distributivit´ (droite) de × sur + e Distributivit´ (gauche) de × sur + e ´e El´ment neutre (droite) de × ´e El´ment neutre (gauche) de × p→q a|α a|β → p a|β q → a|α

ensemble E est une application qui à un couple (x, y) d’éléments de E associe un élément z de E que l’on note x ∗ y. Un groupe est la donnée d’un ensemble non vide G et d’une loi de composition interne ∗ sur G vérifiant les axiomes suivants : 1) Associativité : quels que soient x, y, z dans G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z ; 2) Élément neutre : il existe un élément distingué e dans G tel que quel que soit x dans G, on ait x ∗ e = e ∗ x = x ; 3) Inverse : pour tout x dans G il existe un élément noté x−1

p.Getprix(); } et que nous pouvons ensuite utiliser en ´ecrivant par exemple poulet + fromage. Nous d´efinissons ainsi une loi d’addition + : (Plat × Plat) → float. Mais que se passe-t-il si nous voulons calculer salade + poulet + fromage ? Par associativit´e, cette expression peut ´egalement s’´ecrire : salade + (poulet + fromage) (salade + poulet) + fromage donc il nous faut d´efinir deux autres lois : - une loi + : (Plat × float) → float, - une loi + : (float × Plat) → float. La premi`ere se programme

la suite, à un même niveau, les opérateurs multiplicatifs *, / et %. Au dernier niveau, on trouve les opérateurs additifs binaires + et -. En cas d’égalité de priorités, le calcul est effectué de gauche à droite. On dit que l'on a affaire à une associativité de gauche à droite. Les parenthèses permettent d’annuler ces règles de priorité, en forçant le calcul préalable de l'expression qu'elles contiennent. Notons que ces parenthèses peuvent également être employées pour assurer une meilleure lisibilité