Avis Argumenté

Poincaré – Dernières pensées Chapitre IV – La logique de l’infini [Travail en cours sur l’ensemble du chapitre et le suivant - Par François R. 2010] Paragraphe 1 : Ce que doit être une classification. Cet article est une réponse aux travaux de Frege et Russell à propos de la théorie des classes et de la théorie des ensembles. Ils ont tachés de réduire une partie des mathématiques à la logique. Par ce fait, les problèmes inhérents aux mathématiques se sont greffés à la logique qui

Qu’est ce que le Hasard ? Le terme hasard peut définir plusieurs notions. Et ce qui est hasardeux pour une personne peut ne pas l’être pour une autre. Le Larousse donne en effet deux définitions du mot hasard : « Puissance considérée comme la cause d’événements apparemment fortuits ou inexplicables ». Cette définition suppose déjà la présence d’une puissance. Dans ce cas, faut-il comprendre le hasard comme l’absence totale d’explication rationnelle ou irrationnelle pour un événement donné ou au

doit nécessairement être admis pour peu que l'on se préoccupe de la cohérence rationnelle de la pensée. - Descartes lui-même cherche à montrer que l'analyse, toujours rationnelle, du concept de Dieu, oblige à constater qu'il existe nécessairement (argument ontologique). Sans doute tous les philosophes n'ont-ils pas eu cette attitude, mais ces trois cas suffisent à indiquer qu'on a pu concevoir une complémentarité entre raison et croyance. De telles tentatives ont été fortement critiquées - par Hume

L’infini ? c’est gros comment Vol. 2 • hiver – printemps 2007 Ce matin-là, à la cafétéria Frédéric Gourdeau    Université Laval Annick    Yannick    L’infini, c’est gros comment ? 14 Bien, c’est facile. Il y a deux fois plus de nomYannick, levant les yeux vers le ciel  bres naturels que de nombres pairs. … Annick    C’est ce que je me suis dit, mais alors j’ai Annick    un problème. Ça veut dire que l’infini des Fais pas ces yeux-là. J’suis pas folle. nombres naturels est deux

du nombre complexe z est parfois noté ρ. C’est un nombre positif. Définition 5 (Forme trigonométrique) Soit z un nombre complexe non nul. On a donc : z = |z| Ou encore : z = |z| (cos θ + i sin θ) θ est un argument du nombre complexe z. Un argument du nombre complexe z est noté arg z. Un argument d’un nombre complexe z est défini à 2kπ près (k ∈ Z). L’écriture z = |z| (cos θ + i sin θ) est la forme trigonométrique du nombre complexe z. Définition 6 (Interprétation géométrique) A chaque nombre complexe

i ) ( z -1 ) z+1 = z -1 + iz - i z = 2+i / i = 2i-1 / -1 = -2i + 1 s = 1 - 2i Résolution des équation du second dégré : delta > 0 delta = 0 delta < 0 et Module d'un nombre complexe : soit z = a + ib => z.z = /z/² Argument d'un nombre complexe : Le module d'un nombre complexe est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au point M d'affixe z. De plus, pour , on a : La distance entre A et B, respectivement d'affixes zA et zB, est donnée par :

b) z!!!3!+!5i !=! z!+!2i 2. Argument d'un nombre complexe • Définition : Un argument du nombre complexe z non nul est une mesure de l'angle polaire du ! ! point M dans le plan complexe muni du repère (O;u; v ) , c'est à dire une mesure θ de l'angle ! """! orienté ( u;OM) . Le réel 0 n'a pas d'argument. Le nombre complexe i a pour module 1 et pour argument + • Propriétés : L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2π. Si θ est un argument de z, on notera arg z = θ [2π]

complexes Argument d’un nombre complexe non nul → → • Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M. M(z) On appelle argument de z toute mesure en radian de l’angle −−→ → orienté − u , OM . −−→ → → − u , OM (2π). arg(z) arg(z) = − v • Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est → O − u l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z. z Détermination d’un argument. Si z est un complexe non nul, un argument de z

dessiner le nombre complexe dans le plan sous sa forme trigonom´ trique, e ` comme a la figure 1.2. Gabriel Cormier 4 GEN1153 CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE Im sin(θ) z θ cos(θ) Figure 1.2 – Plan complexe Re 1.6.1 Argument d’un nombre complexe √ Soit un nombre complexe z = a + jb, et de module |z| = a2 + b2 . Alors, a z b =√ +j√ |z| a2 + b2 a2 + b2 z0 = cos(θ) + j sin(θ) z0 = |z0 | = |z| = 1 ⇒ ∃ 0 < θ < 2π |z| a z = |z|z0 = |z|(cos θ + j sin θ) = |z|∠θ cos

multiplication [pic] 2. Conjugué d'un nombre complexe [pic] 3. Module d’un nombre complexe [pic] 4. Cas d’un nombre réel [pic] Cette dernière égalité montre que le module est une extension de la valeur absolue des nombres réels. 5. Argument d'un nombre complexe [pic] 6. Propriétés [pic] 7. Exemples [pic] [pic] 1 Addition des nombres complexes, addition vectorielle et forme cartésienne. Soient deux nombres complexes [pic] : [pic] Soient, dans un plan muni d'un repère