Base canonique

vectoriels de dimension finie 1 Base Exercice 1 1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 3. Dans R3 , donner

2005 National Exercice n°3 : Les indicateurs colorés naturels de la cuisine à la chimie (6,5 points) Correction http://labolycee.org © Calculatrice interdite 1. Les indicateurs colorés en cuisine 1.1. Un indicateur coloré a la propriété de changer de couleur en fonction du pH. 1.2. Le vinaigre est acide, car le choux rouge devient violet en sa présence (pH : 4 à 6) Le détergent est basique car l’eau de rinçage devient verte (pH : 9 à 12) 2. Les indicateurs colorés pour les titrages

Dans une entreprise de traitement de leau, un bidon ancien est retrouv. Daprs ltiquette, il contient une solution aqueuse dhydroxyde de sodium EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Le technicien dsire vrifier la valeur du pH indique sur ltiquettepour cela il dose EMBED Equation.DSMT4 de cette solution par une solution dacide chlorhydrique de concentration EMBED Equation.DSMT4 . Le volume dacide vers lquivalence vaut EMBED Equation.DSMT4 . Les questions sont indpendantes. DonneProduit

sont-elles moins Q3. Non, elles le sont tout dangereuses ? Justifie ta autant (voir l’étiquette). réponse. Q4. Quel dommage irréversible permet d’éviter le port de lunettes (en plus du port de la blouse et des gants) si on manipule un acide ou une base concentrée ? Q5. Que proposez-vous, en vous aidant de vos connaissances, pour rendre un acide moins dangereux ? Justifier Q4. On peut perdre la vue. Q5. On peut diluer l’acide, car on sait qu’en ajoutant de l’eau, il devient moins acide (le pH augmente)

rien sucre Av :non Ap : non rien *** av : avant d’être en solution Ap : après avoir été mis en solution avec de l’eau distillé Analyse :   Si le papier tournesol est devenu rouge, la substance est acide ;Si il est devenu bleu, c’est base. Par contre, si n’aucun des papiers tournesols on changer de couleur, c’est neutre Conclusion : Voici à quoi j’ai assigné les substances : Hydrogène de sodium, méthanol, magnésium sel et sucre sont neutre. Sulfate de d’dihydrogène et chlorure

possèdent une numération dite "numération savante". Les symboles sont composés de bâtonnets en alternant les rangs par des barres verticales ou horizontales pour éviter la confusion. C'est une numération se rapprochant d'un système positionnel à base 10, où les principes de position et d'addition sont utilisés. Les unités de mesure chinoises (chinois : 市 制 ; pinyin : shìzhì, littéralement « système de marché ») sont les unités coutumières et traditionnelles de mesure utilisées en République populaire

Pour être en santé, notre corps travaille sans relâche à s’équilibrer. Le bon équilibre du pH de notre corps est un aspect important pour tendre vers une meilleure santé. Lorsqu’il y a un déséquilibre entre les acides et les bases c’est à ce moment que les problèmes de santé commencent. Différents facteurs sont en cause dans l’acidification de notre corps comme les carences en vitamines, le manque d’oxygénation, le stress, le manque de sommeil, la difficulté d’éliminer les déchets de notre corps

2+ 2 = 4 Nature de l'épreuve Vingt opérations de base (mélangées) sur les nombres entiers sont à effectuer en temps limité : ¤ cinq additions d'un nombre entre 1 et 5 à un nombre entre 6 et 15 ;¤ cinq soustractions d'un nombre entre 1 et 5 à un nombre entre 6 et 15 ; ¤ cinq multiplications d'un nombre entre 1 et 5 par un nombre entre 2 et 5 ; ¤ cinq divisions associées aux multiplicationsci-dessus. Pour réussir l'épreuve, toutes les réponses doivent être justes ! Difficulté de l'épreuve Cinq paliers

Calculer le rang de la famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) 2. Justifier que ces vecteurs forment une famille g´n´ratrice de R3 . e e 3. Extraire de cette famille une base B de R3 , en justifiant votre r´ponse. e 4. Soit v = (−2, 2, 1) un vecteur de R3 , calculer ses coordonn´es dans la base B e 1 Exercice 2 (9 points) On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et w1 , w2 et w3 les vecteurs suivants : w1 = (3, −1, 2), w2 = (−1, 3, 2) et w3 = (1, 1, 2).   f (e1 ) = w1 Soit f l’application lin´aire de R3

Exercice 6: Vérifier que q(P ) = P (0)P (1) est une forme quadratique sur R2 [X]. Donner sa forme polaire, sa matrice dans la base canonique de R2 [X]. Est-elle non dégénérée ? Positive ? Trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale. Exercice 7: Soit, dans R3 [X], la forme quadratique q(P ) = P 2 (0) + P 2 (1) + P 2 (2) + P 2 (3). Trouver sa signature et une base de R3 [X] qui soit q-orthogonale. Exercice 8: Soient f1 , f2 ∈ E ∗ linéairement indépendantes. On pose ∀x ∈ E, q(x) = f1 (x)f2