Borne

pose (- A) = (- x /x E A). Montrer que : 1") Si A est majorée, (-A) est minorée et on a : inf (- A) = - sup A. 2") Si A est minorée, (-A) est majorée et on a : sup (- A) = - inf A. Solution 1") Soit A une partie non vide, majorée de W. Soit a sa borne supérieure. Donc, par définition on a : i ) V x ~ A xla. ii) V E E O 3 XOE A a - ~ < x oS a . Il est clair que (-A) est une partie non vide et minoree par a' = - a puisque d'après i) : V y E (- A) - y E A donc -y I a. c'est à dire - a I y. D'autre

notations pr´c´dentes, un plus grand ´l´ment de A, s’il existe, est unique. On le note max A. e e ee D´finition. On conserve les notations pr´c´dentes. e e e Si l’ensemble des majorants de A dans E admet un plus petit ´l´ment, celui-ci s’appelle la borne sup´rieure ee e de A dans E, not´ suppAq. e Remarque. Propri´t´. Si α  max A, alors α  sup A. e e La r´ciproque est fausse. e 2010-2011 http://mpsi1.lamartin.fr 1/6 Chap 11 – Relations d’ordre, r´els e 2 2.1 2.1.1 Les nombres r´els

minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe

d’arcade sont des systèmes prévus pour fonctionner dans des lieux en libre accès. Une borne se compose classiquement d’un monnayeur et de périphériques robustes. Les premiers types de bornes d'arcade étaient des bornes dédiées qui ne contenaient qu’un seul jeu indissociable de ladite borne. Cependant, dans les années 1980, SNK introduisit un nouveau type de borne, le MVS qui permettait à l'opérateur de la borne de changer le jeu simplement en intervertissant une cartouche de jeu 4. Cela devint par

La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle 1.2 Lemme d’Abel Lemme d’Abel — Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |, la série numérique an z n est absolument convergente. Démonstration — n 1. Pour tout z ∈ C : |an z n | = |an z0 | z z0 n =O z z0 n z z0

réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s’il existe m ∈ R tel que : ∀x ∈ D, f (x) ≥ m, i.e. l’ensemble f (D) est minoré. • f est bornée si elle est majorée et minorée ou de manière équivalente si |f | est majorée : ∃M ∈ R, ∀x ∈ D, |f (x)| ≤ M. Bornes Soit f dans RD • La borne supérieure de f , si elle existe, est la borne supérieure de f (D) : sup f = sup{f (x), x ∈ D} = sup f (x). x∈D • La borne inférieure de f , si elle existe, est la borne inférieure de f (D) : inf f = inf{f (x), x ∈ D} = inf f (x). x∈D • Le maximum de f

de répondre plus facilement aux nombreuses demandes des touristes et de limiter le temps d'attente en période de forte affluence, sera mis en place une borne interactive à court terme à l'entrée de l'office. 2.1 Cette borne interactive se caractérise comme un "robot" car elle est automatique et ne nécessite aucun interlocuteur. Cette borne est disposée d'un écran et informe individuellement. Il existe deux types de bornes interactives, la "totem" et la "vitrine". La vitrine est plus récente

élément. • Borne supérieure, inférieure Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A

Avec les notations ci-dessus l’algorithme suivant calcule le plus petit rang n pour lequel b n − a n est inférieur à une valeur donnée, et affiche a n , b n et n. Initialisation Affecter la valeur de la borne inférieure de l’intervalle à la variable a. Affecter la valeur de la borne supérieure de l’intervalle à la variable b. Affecter l’incertitude désirée à la variable e. Début Affecter 0 à la variable n. Affecter la longueur de l’intervalle [a, b] à la variable d. Tant