Borne

convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r < Preuve. La suite (an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn xn x n x n 0 n x n |an x | = = |an x0 | ≤M · La série est une série

notions de limites  Connaître la notion de continuité  Connaître les notions de limites et continuité à droite et à gauche Dans tout ce chapitre, a ∈ R c'est à dire que a ∈ [−∞; +∞]. I désigne un intervalle de R contenant a, ainsi a peut-être une borne de I . 1 Dénition de la notion de limite 1.1 Limite nie en a Dénition 1. Soit f ∈ F (I, R) et l ∈ R 1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet l pour limite en a si et seulement si : ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I\{a}, |x − a| α ⇒ |f (x) − l| ε

majorée si il existe un nombre M tel que pour tout nombre n, (tous les termes sont plus petits que M). M s'appelle alors un majorant de la suite. De même il existe des suites minorées. Une suite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée. Les deux suites de l'exemple tout en haut ne sont pas bornées. ^ Suite arithmétique Définition Si la suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20... ou -2, 8, 18, 28...) on dit que c'est une suite arithmétique. Une suite

élément. 3.2 Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A

caractérisée par une capacité dij qui correspond à une borne supérieure sur le flot dans l’arc une borne inférieure lij sur le flot dans l’arc De plus 0≤ lij ≤ dij 1 [0, 2] [0, 6] [0, 4] 2 [2, 9] [3, 4] 4 [1, 6] 3 À l’arc (i, j) est associé le couple [lij , dij]. 7.2 Formulation du problème de flot à coût minimum • Nous considérons un réseau où à chaque (i, j) sont associés les attributs suivants: dij la capacité de l’arc lij la borne inférieure sur le flot dans l’arc cij le coût

• Si b ∈ R et si f est définie et continue par morceaux sur [a, b], alors F est continue sur [a, b] de sorte que f admet une intégrale impropre qui coïncide avec l’intégrale de f sur [a, b]. • On définit de même la notion d’intégrale impropre sur la borne inférieure de l’intervalle. Soient a ∈ R et b ∈ R. Soit f :]a, b] → R une fonction continue par morceaux. On pose x F (x) = a f (t) dt pour tout x ∈]a, b]. On dit que f admet une intégrale impropre si b F (x) admet une limite quand x →

l’industrie. Mais lorsque l’on parle «écran tactile», on n’évoque pas assez la technologie mise en oeuvre. Celle-ci conditionne pourtant l’adaptation de l’écran à l’application visée : ambiance sévère en atelier, poste de conduite en salle protégée, borne interactive de consultation pour le public... A chaque utilisateur correspond une technologie tactile adaptée. Elo TouchSystems De toutes les technologies d’interfaces tactiles existantes, c’est le résistif qui est le plus utilisé dans les

rail-shooter de SEGA arrive enfin sur consoles, plus précisément sur PS3. Bien que gérant le Playstation Move et le Sixaxis, la recette est-elle toujours aussi efficace ? Voici quelques éléments de réponse. Si vous avez eu la chance d'essayer la borne d'arcade de The House of the Dead 4, vous serez ravi d'apprendre que l'ensemble des éléments présents à l'origine se retrouvent dans cette adaptation PS3. Ceci dit, cette qualité est également son plus gros défaut puisqu'elle induit une durée de vie

l'intervalle de confiance par 3 ? Estimation de moyennes et taille d’échantillon 7) La taille moyenne observée sur un échantillon aléatoire de 101 personnes prélevé avec remise parmi 50000 est de 1,72 m avec un écart-type s’ de 23 cm. Donnez la borne inférieure d'un intervalle de confiance à 98 % pour la taille moyenne sur l'ensemble de la population. ................... Réponse : 166,56 cm 8) Quelle taille d'échantillon doit on prélever sans remise pour connaître le salaire moyen des habitants

va néanmoins apporter des contestations. La rapidité des études, d’exécution, l’industrialisation des constructions amènent à une réflexion de la part de certains architectes et de la population sur le logement de masse. Le programme de la Grande Borne de Grigny est au cœur de ces interrogations sur le logement. Le terrain du programme est débloqué en juillet 1961. Ce terrain triangulaire de 90 hectares est bordé à l’époque par l’autoroute du Sud (maintenant A6) et de l’autre la station de radio