Canonique

Loin d'être une nouveauté dans nos sociétés contemporaines, les premières universités apparurent au XIIIème siècle. A cette époque, le mot "université" avait un sens bien différent d' aujourd'hui. C'est seulement au fil de l'évolution et des siècles qu'il a pris pleinement son sens contemporain. Cette évolution, de surcroit très intéressante, nous la verrons dans ce premier volet d'une série de deux articles. C'est seulement dans le second volet qu'il sera question des étudiants eux-mêmes ainsi que

0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées de u = (1, 2, −1, −2) dans cette base . Décomposer u en la somme d'un élément de E et d'un élément de E ⊥ . Vérier le théorème de Pythagore . 2 Exercice 4 Dans R , on considère les vecteurs u1 = (1, 2, −1,

DOCTRINE DE LA FOI DÉCLARATION SUR L’INCOMPATIBILITÉ ENTRE L’APPARTENANCE À L’ÉGLISE ET LA FRANC-MAÇONNERIE On a demandé si le jugement de l’Eglise sur les associations maçonniques était changé, étant donné que dans le nouveau Code de droit canonique il n’en est pas fait mention expresse, comme dans le Code antérieur. Cette Congrégation est en mesure de répondre qu’une telle circonstance est due au critère adopté dans la rédaction, qui a été suivi aussi pour d’autres associations également passées

♣ et ♠. (ii) La première identité de polarisation n’est qu’une réécriture de ♣. La seconde s’obtient en soustrayant ♠ de ♣. 1.3 Exemples Rn × Rn Exemple (Produit scalaire canonique sur R ) L’application (xk )1 −→ k n , (yk )1 k n n −→ scalaire sur Rn appelé le produit scalaire canonique sur Rn . n Il est équivalent de définir ce produit scalaire sous la forme matricielle En effet n R ×R (X, Y ) −→ −→ t R n est un produit x k yk k=1 R

(2) (3) ∑ , ∑ , , 2 1 (4) , 2 1 scalaire sur . Lorsqu'il est muni d'un produit scalaire . , . On le note par , .,. (Espace vectoriel euclidien) est appelé un espace vectoriel euclidien. est un produit scalaire sur : produit scalaire canonique ou usuel de . , 0, 1, … est un produit scalaire sur . est un produit scalaire sur . 2 1 2 2 2 est un produit 2 3 2 1 3 1 3 2 2 printempsSession printemps-été Professeure Salma DASSER [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre

une valeur propre non nulle. .../... Exercice 4 Soit Rn muni du produit scalaire canonique < ·, · > et de la norme euclidienne f un endomorphisme de Rn tel que f (x) ≤ x · associ´ee, et soit pour tout x ∈ Rn . 1. Montrer qu’il existe un et un seul endomorphisme de Rn not´e f ∗ tel que pour tous x et y ∈ Rn < f ∗ (x), y >=< x, f (y) > (pour construire f ∗ , on pourra utiliser la matrice de f dans la base canonique de Rn ). 2. Montrer que < f (x), x >≤ x 2 pour tout x dans Rn , et que < f (x), x

) / ∀(x, y) ∈ En , φ(g(x), g(y)) = φ(x, y)}. u En d´duire O(φ) en fonction de O(En ). e 5. Dans cette question E2 = R2 muni du produit scalaire canonique, et, pour tout (x, y) ∈ R2 , φ((x, y), (x, y)) = x2 − xy + y 2 . (a) V´rifier que φ est bien un produit scalaire sur R2 . e (b) Tracer Sφ dans le plan. (c) D´terminer la matrice de v dans la base canonique. e (d) En d´duire la forme matricielle g´n´rale des ´l´ments de O(φ). On pourra laisser le r´sultat e e e ee e sous forme de produits matriciels

t) = xz + xt + yz + yt 6) q(x, y, z) = (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 7) q(x, y, z) = x2 + 2y 2 + 4xy + 4xz + 2yz. Exercice 6: Vérifier que q(P ) = P (0)P (1) est une forme quadratique sur R2 [X]. Donner sa forme polaire, sa matrice dans la base canonique de R2 [X]. Est-elle non dégénérée ? Positive ? Trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale. Exercice 7: Soit, dans R3 [X], la forme quadratique q(P ) = P 2 (0) + P 2 (1) + P 2 (2) + P 2 (3). Trouver sa signature et une base de R3

la regle des signes fonctionne Remarque : le choix d’une bon établit une bijection entre les ensemble de la colonne de gauche et ceux de la colonne de droite Opération et produit vectoriel dans Rn E=Rn produit scalaire usuel e bon canonique Rappel : il existe une unique application n-linéaire En →R Det (e1,e2,…,en)=1 Det (x1,x2,…,xn)=0 ⇔ la famille { x1,x2,…,xn} est liée Pour A=(aij)ЄMn(R) x1=[pic] x2=[pic] … xn=[pic] On note det(A)= det (x1,…,xn) L’application

Analyse en composantes principales Une m´thode factorielle pour traiter les e donn´es didactiques e Ali Kouani, S. El Jamali et M.Talbi R´sum´ e e L’Analyse en Composantes Principales (ACP) est une m´thode d’analyse de donn´es. e e Elle cherche ` synth´tiser l’information contenue dans un tableau croisant des individus a e et des variables quantitatives. Produire un r´sum´ d’information au sens de l’ACP c’est e e ´tablir une similarit´ entre les individus, chercher des groupes d’individus homog`nes