Capacité Linéaire

Université Montpellier 2 Faculté des Sciences Semestre 1 du Portail MIPS 2011-2012 GLMA101 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 1 Université Montpellier 2, Faculté des Sciences, Semestre 1 du Portail MIPS, 2011-2012 GLMA101 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 1 Université Montpellier 2 Faculté des Sciences Semestre 1 du Portail MIPS 2011-2012 TABLE DES MATIÈRES Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions linéaires et fonctions affines I) fonction linéaire : a) proportionnalité et fonction linéaire Voici un tableau de valeurs indiquant le prix à payer en fonction du nombre de gâteaux Nombre de gâteaux Prix (€) 1 1,1 2 2,2 3 3,3 4 4,4 5 5,5 6 6,6 7 7,7 8 8,8 9 9,9 X 1,1 « Le prix à payer est proportionnel au nombre de gâteaux. Le coefficient de proportionnalité permettant de trouver le prix en fonction du nombre de gâteaux est 1,1» Traçons la courbe représentant le prix en fonction

et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs

∀i = 1, ..., N Notations : Ci est la variable expliquée (ou endogène) Ri est la variable explicative (ou exogène). a et b sont les paramètres (ou coefficients) à estimer Un modèle avec une seule variable explicative est appelé modèle linéaire simple ; Le modèle linéaire multiple comporte plusieurs variables explicatives 12/25 Tester empiriquement la relation entre consommation et revenu (2) S’il existait une relation certaine entre consommation et revenu... 3000 2500 2000 Consommation

Résultat préliminaire On considère une droite (d) qui admet une équation de la forme y ax b dans un repère du plan. Si deux points A1 (x1 ; y1) et A2 (x2 ; y2) appartient à cette droite (d) alors on peut déterminer a et b : y2 y1 et a b y1 ax1 y2 ax 2 x 2 x1 Exercice 1 1) CA en millions d'euros y=3x 78 nuage 75 75 points extrêmes raz 1 Mayer raz 2 moindres carrés raz 3 72 70 70 RAZ 6565 62 60 2005 2006 2007 2008 2009 2010 année Remarque : les

matières I Algèbre générale 1 Applications 2 Coefficients du binôme 3 Ensembles finis 4 Nombres complexes 5 Opérations 6 Groupes 7 Anneaux 8 Relations d’équivalence 9 Relations d’ordre 10 Propriétés de N 11 Propriétés de R 12 Suites récurrentes linéaires 13 Permutations 6 6 8 10 12 16 16 21 25 27 29 30 31 32 II Arithmétique 34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40

télévision : 40 x1  75x2  500 , x1  3 et x2  2 La fonction objectif à maximiser représente le nombre de clients potentiels par publicité z  400 x1  900 x2  500 x3  200 x4 . Les contraintes de non-négativité sont vérifiées. Le programme linéaire résultant est : Max s.c. 400 x1  900 x2  500 x3  200 x4 40 x1  75 x2  30 x3  15 x4  800 30 x1  40 x2  20 x3  10 x4  2000 40 x1  75 x2 x1 x2  500 3 2 x1  0, x2  0, x3  0, x4  0 Exercice 4 : Les variables de décisions sont

F ONCTIONS LINÉAIRES Définition : fonction linéaire Soit a un nombre quelconque « fixe ». Si, à chaque nombre x, on peut associer son produit par a (c’est à dire y = a ×x), alors on définit la fonction linéaire de coefficient a, que l’on notera f : x −→ ax Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans laquelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour calculer l’image d’un nombre, on le multiplie par a. Représentation graphique Dans un repère, la

1 Systèmes d'équations linéaires et matrices 1.1 1.2 Introduction aux systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.2.1 1.2.2 1.3 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme d'élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de résolution d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . .

APPLICATIONS LINEAIRES Soit E et F deux e.v. sur R. On dit que f est une application linéaire (ou A.L.) de E dans F ⟺ {█(∀x∈E et ∀λ∈R,f(λ.x)=λf(x)@∀x et ∀y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) )┤ ⟺ (∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈R) f(x+λy)=f(x)+λf(y) Soit f∈L(E,F). (x et y étant des vecteurs) Notation : l’ensemble des applications linéaires de E dans F se note L(E,F). Propriétés : f(0_E )=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes