Caractéristiques Excipit

dont les coefficients sont définis par f[i,j] – A.B; Renvoie le produit de A et de B – A^^(n); Renvoie la puissance nième de A. – eigenvalues(A); Renvoie les valeurs propres de la matrice A. – charpoly(A, x), expand; Renvoie le polynôme caractéristique de A. – determinant(A); Renvoie le déterminant de A. Résolution de f(x)=c sur [ a, b] – find_root(f(x)=c,x,a,b) : Renvoie une valeur approchée des solutions de f(x)=c sur [a,b]. Les équations différentielles – ode2('diff(y,x)+y=0,y,x); :

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

F-16 Introduction au F-16 Le bus 1553 Caractéristiques du bus les coupleurs gestionnaire de bus coupleur abonné surveillant de bus Architecture du bus Organisation Type de gestion Redondance Implantation des coupleurs Caractéristiques matérielles Présentation générale Description de la ligne principale Description de la ligne de dérivation Protocole 1553-B Caractéristiques des mots Structure Type de mot Format Caractéristiques des messages Surveillance de la transmission

par récurrence. Donck = (¡1)n. 3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn : ² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In)

n }. L’objectif principal du sujet est d’établir le résultat suivant : toute matrice inversible de Mp (C) est TPC. Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples. Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé, on peut ramener l’étude au cas des matrices de la forme λIp + N avec N nilpotente. Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c’est-à-dire de la forme Ip + N avec N nilpotente et on en déduit le théorème

de rayonnements et l’échappement de l’onde électromagnétique. Les différents types de câbles coaxiaux et triaxiaux sont caractérisés par les matériaux de base utilisés (conducteurs et isolants), le diamètre du conducteur central, l’impédance caractéristique, la capacité, l’atténuation maximale et la gamme de fréquence employée. La plupart des câbles coaxiaux sont régis suivant la norme américaine MIL-C-17, références RG (Radio Frequency Government) et la norme française NF-C-93550, références KX

destinataire, le support de transmission doit présenter les caractéristiques suivantes: • Le support ne doit pas déformer le signal transporté. Ce dernier peut être éventuellement atténué. • L'information transporter ne doit pas être altérée par des perturbations indésirables telles que le bruit ou la diaphonie. • La bande passante du support doit inclure le spectre fréquentiel du signal transporté. En plus de ces caractéristiques, le support doit offrir : • Le débit d'information le plus

2) Le déterminant de A : [pic] 3) Le polynôme caractéristique de A : [pic] 4) Le spectre de A :[pic] [pic]Ces attributs permettent entre autre de calculer systématiquement [pic] Exemple [pic] [pic] PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic]) O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic] Pour la matrice [pic]on a toujours: [pic] « On remplace [pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A » Conséquence [pic] Exercice 1) Vérifier

polynôme caractéristique de cette matrice en calculant son déterminant : det(M (x∗ , y ∗ ) − rI) = (a11 − r)(a22 − r) − a12 a21 = r 2 − (a11 + a22 )r + (a11 a22 − a12 a21 ). Ce polynôme du second degré admet deux racines négatives (ou a partie réelle négative) si et seulement si : (1) det(M ) = (a11 a22 − a12 a21 ) > 0 (2) tr(M ) = (a11 + a22 ) < 0 Ces deux conditions garantissent la stabilité de l’équilibre stationnaire (x∗ , y ∗ ). Le signe du déterminant de l’équation caractéristique permet de

Supplément : Rang et sous-matrices 65 2.10 Systèmes affines 2.10.1 Position du problème 2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation 98 3.5 Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs