Cercle inscrit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Hachette Livre 2007, Mathématiques 4e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. GÉOMÉTRIE 92 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12 Le théorème de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 132 13

tous les traits de construction. 2. Le point K est sur le cercle de diamètre [IJ]. Or, si un triangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre un de ses côtés alors il est rectangle. Donc IJK est rectangle en K. 3. Le triangle IJK est rectangle en K donc d’après le théorème de Pythagore on a IJ2 = IK2 + JK2. Donc IK2 = IJ2 – JK2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48. 48 = 16 × 3 = 4 3 donc IK = 4 3 cm. 4. a. [OJ] et [OK] sont deux rayons du cercle  donc OJ = OK = 4 cm. Et comme JK = 4 cm, le triangle OJK

alors ce triangle n’est pas rectangle. ______ -Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l'hypoténuse. Si dans un triangle, la médiane issue d'un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet. Si une droite passe par les

entreprise l’effectif total d’hommes est de 20. Donc 20/2 = 10. Donc 11 personnes gagnent plus de 2000 € dans cette entreprise. Exercice 4 : 1) sin ABC = AC : BC sin ABC = 3 : 6 sin ABC = 30° 2) le triangle est inscrit dans le cercle et a pour hypoténuse le diamètre de ce cercle donc le triangle est rectangle en C. La somme des angles d’un triangle rectangle est égale à 180°. 180° = ACB+CBA+CAB 180° = 90°+ 59°+ CBA 180°= 149°+ CBA CBA= 180°-149° CBA= 31° 3) 108° Exercice 5 : 1)

a) ⇐⇒ y − a + a ln a = − ln a(x − a) ⇐⇒ y = −x ln a + a. Le point d’intersection de la droite (T a ) et de l’axe des ordonnées a une abscisse nulle, d’où y = a, ordonnée du point A′ . Conclusion : A′ (0 ; a). b. Il suffit de tracer le quart de cercle centré en O de rayon a qui coupe l’axe des ordonnées au point A′ (0 ; a) Du point (a ; 0) donné sur la figure on trace la verticale qui coupe C au point A(a ; f (a)). La tangente est la droite (AA′ ). Voir à la fin la figure. Partie II : Un calcul d’aire

20 cm ; 1 m ; 7 m. 2. Calculer IJ pour AB = 100 et AB = 10 et comparer avec la r´ponse spontan´e. e e Exercice 6 1. a) Construire un triangle RST rectangle en R, inscrit dans un cercle de 5 cm de rayon et tel que RS = 35 mm. b) Calculer l’aire et le p´rim`tre de ce triangle. e e 2. Construire un rectangle ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2,6 cm et tel que : AB = 4,8 cm. Calculer l’aire et le p´rim`tre de ce rectangle. e e Exercice 7 Construire un trap`ze rectangle ABCD (sommets de l’angle

Saline royale d’Arc-et-Senans ne comprenait que les bâtiments du demi-cercle antérieur et du diamètre: au centre, le pavillon contenant l'administration, l'appartement du directeur et la chapelle; de part et d'autre, sur le diamètre, les ateliers de fabrication ; sur le demi-cercle, quatre bâtiments contenant les logements et ateliers secondaires des ouvriers, sauniers, berniers, forgerons et tonneliers; au centre du demi-cercle, l'entrée. Le plan circulaire de la ville de Chaux est emprunté aux villes

"puisque les diagonales d'un losange sont perpendiculaires..." 5.2 "puisque les diagonales d'un carré sont perpendiculaires..." 4.1 "puisque la hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet..." 4.2 "puisque la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon issu de ce point..." Deux distances sont égales : 6.1 "puisque si deux distances sont égales à une troisième, elles sont égales entre elles..." 6.2 "puisque dans un triangle isocèle, les deux côtés du sommet

: AB2=AC2+BC2 Par conséquent : BC2BC=AB2−AC2=202–122=400–144=256=256−−−√=16 On en déduit donc que DB=20–12=4 Cela signifie donc que la lance est descendue de 4 pieds.   Exercice 3 1. FAUX Seuls les triangles inscrits dans un cercle dont un des côtés est un diamètre de ce cercle sont rectangles.   2. VRAI La médiatrice d’un segment est la droite constitués des points équidistants des extrémités de ce segment. Par conséquent AM=BM et le triangle ABM est isocèle en M.   3. On ne peut pas

deux rayons du cercle de centre O et de rayon OA. Le triangle AOB est donc un triangle rectangle isocèle. Les deux angles adjacents à sa base [AB] sont donc égaux à 45°. OAB = 45°. b. L'angle IOJ est droit et OI = OJ car IJKL est un carré ; le triangle IOJ est donc isocèle rectangle. Les deux angles adjacents à sa base [IJ] sont isométriques et sont chacun égaux à 45°. OIJ = 45° et comme P est le milieu de [IJ], OIP = 45°. c. Le triangle API est isocèle car A est un point du cercle de centre I et