Cercle osculateur

Justifier. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ) 1) Soit z un nombre complexe non nul d’argument , alors un argument de est a) b) c) 2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que z = z + est a) l’ensemble vide b) un cercle c) une droite 3) Soit z un complexe de module 2, M le point d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x et y deux entiers naturels non nuls vérifiant :

zB ) = [2 ] et ( OA ; OB ) = [2 ]. zA 6 6 6 [2 ] b) r (O) = O et r (A) = B, donc l’angle de la rotation est ( OA ; OB ) = L’écriture complexe de r est z’= e 3) i /6 z. a) On sait que r (A) = B et on sait que l’image du cercle de rayon 2 de centre A est le cercle de centre B et de même rayon 2 ,c’est-à-dire ’. z +z 1 + i ( 3+2) b) zI = A B = 2 2 c) C , donc AC = 2 et C ’ donc BC = 2 ; or on sait depuis le 1)c) que OA = 2 = OB, donc le quadrilatère OABC est un losange. d) Les diagonales du

triangle ABC. e Exemple-type. 1. Trouver tous les points M du plan tels que −→ − −→ − M A + 2 M B = 3. Avec le barycentre G de (A ; 1) et (B ; 2), on obtient d’apr`s la proe pri´t´ 2 (propri´t´ de r´duction) e e ee e −→ − 3 MG = 3 ce qui d´finit le cercle de centre G et de rayon 1. e 2. Trouver tous les points M du plan tels que −→ − −→ − −→ − → − − M A + 2M B = 4 M C − M D . Avec les barycentres – G de (A ; 1) et (B ; 2) – H de (C ; 4) et (D ; −1) on peut r´duire ceci ` l’aide de la propri´t´ 2 e

⇐⇒ 4 23 juin 2009 A. P M. E. P . . Corrigé du baccalauréat S 2. a. Il faut résoudre le système : x2 + y 2 z = = z 2 ⇐⇒ x2 + y 2 z = = 2 2 2 et b. On résout de même le système : x2 + y 2 x = = On reconnait l’équation d’un cercle centré en (0 ; 0 ; 2), de rayon situé dans le plan horizontal d’équation z = 2. z 0 y2 x = = z 0 ⇐⇒ 3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. a. On a successivement : • • • • • • • x ≡0 x ≡1 x ≡2 x ≡3 x ≡4 x ≡5 x

z + iz = iz − 1 ⇐⇒ z 2 − z + 1. Comme ∆ = 1 − 4 = −3 = i 3 , 3. z = z −1+i cette équation a deux solutions complexes : 1+i 3 z1 = zE = et 2 1−i 3 . z2 = zF = 2 1 3 On a |zE |2 = + = 1 ⇐⇒ |zE | = 1 = |zF |. 4 4 Ces deux points appartiennent donc au cercle C . 1 Comme ils ont pour partie réelle , ces deux points sont les deux points communs à ∆ et à C . 2 4. .Soit i(z + i) |i(z + i)| i(z + i) AM = a. z ′ = ⇒ z′ = = = OM ′ z −1+i z −1+i |z − 1 + i| BM b. Application du résultat précédent : M ∈ ∆ ⇐⇒ MA

perpendiculaire à (d) passant par F; Si e > 1 deux droites sécantes ; Si e = 0, le point O (qui est aussi le point F). Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r. {text:list-item} Cas affine En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second

a) b) c) d) Z A = −1 + 2i Z B = −2 − i L’ensemble E des points M d’affixe Z tels que Z − ZB = 1 est la médiatrice de [ AB] Z − ZA O ∈ E1 2 e) L’ensemble E2 des points M d’affixe Z tels que arg( Z − ZB π ) ≡ [2π ] est le demi-cercle (Γ) de diamètre Z − ZA 2 [AB] passant par O, privé des points A et B Exercice 6 f est une application du plan qui, au point M(x ;y) associe le point M’(x’ ;y’) tel que x' = 6 3 4 12 4 3 + x − y et y ' = − x− y 5 5 5 5 5 5 a) b) c) d) e)

5F-6p : Chapitre 4  | Trigonométrie | Cours | | I) rappels de 4ième : Mesures d’angles et cercles 1) Secteurs angulaires [pic] Définition: Un secteur angulaire est une région du plan bordée par les côtés d’un angle non-nul. 2) Secteurs circulaires [pic] 3 Angles au centre [pic] 4) Angles inscrits [pic] 5) Unités d’amplitudes d’un angle a) Le degré i) Historique Les degrés ont été introduits par les babyloniens

programme et les structures alternatives et répétitives. • application Écrire l’algorithme permettant de calculer la circonférence d’un cercle. Vous mettrez en évidence les 4 parties qui composent l’algorithme, puis écrivez-le et exécutez-le en VBA Excel, classeur Algo_et_Prog, feuille Circonférence. Rappel : la circonférence d'un cercle se calcule grâce à la formule suivante : circonférence = diamètre x Pi, sachant que Pi a pour valeur 3,1416. ALGO Circonférence

la ligne médiane qui joint le milieu des lignes de touche. Le point central est marqué au milieu de la ligne médiane. Autour de ce point, est tracé un cercle de 9,15 m de rayon. Afin de matérialiser la distance à observer par l’adversaire lors de l’exécution d’un coup de pied de coin, il est possible de tracer une marque à 9,15 m de l’arc de cercle de coin, à l’extérieur du terrain de jeu, perpendiculairement à la ligne de but et à la ligne de touche. LOI 1 – TERRAIN DE JEU 7 Dimensions