Combinaison convexe

Op´rations sur les d´riv´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 e e e D´riv´es et extrema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 e e Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 ´ Etude d’une fonction d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5

|L1MASS (groupe B) |10/11/2006 | |ABOUSSABR Nawal | | |BERTHOUX Yvan |[pic] | |LESPAGNOL Vivien

Conditions de KKT :  L(x,λ,μ)=J(x)+ λigi(x)+ μifj(x) 1≤i≤m 1≤j ≤p (1≤i≤m), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p),  ∇xL(xmin, λ, μ) = 0, fj(xmin) ≤ 0 μ≥0  j  μjfj(xmin) = 0 2.4 Optimisation convexe Optimisation convexe (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v).   g(x)=0 i min  La notion de convexité possède un rôle privilégié en théorie de l’optimisa- tion car elle permet d’obtenir des conditions globales d’existence, mais aussi par l’existence de conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé

    TRACER LE GRAPHE D'UNE FONCTION  Sommaire 1.  Méthodologie : comment tracer le graphe d'une fonction .................................................... 1    En combinant les concepts de dérivée première et seconde, il est maintenant possible  de tracer le graphe d'une fonction avec une précision surprenante : la dérivée première  représente  la  pente  d'une  fonction  et  permet  de  déterminer  la  croissance  ou  la  décroissance de celle‐ci ; les points stationnaires et critiques permettent d'obtenir des 

sa courbe représentative dans un repère. • Dire que f est convexe sur Ι signifie que sur Ι, la courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. • Dire que f est concave sur Ι signifie que sur Ι, la courbe est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes. Illustration - convexité Illustration - concavité Illustration avec la fonction exp Illustration avec la fonction ln 4 25/09/2014 Exemples de fonctions convexes Fonction carré Exponentielle La fonction dérivée est croissante

Prouver que la droite (RT) est contenue dans le plan (P). UTILISATION DE GEOSPACE : Ouvrir "Nouvelle figure de l'espace". Créer quatre points libres dans l'espace A, B, C et D. Utilisez la touche "bis" ! Puis : Créer – Solide – Polyèdre convexe – Défini par ses sommets : ABCD. On peut appeler t le tétraèdre créé. Ctrl + clic droit de la souris : pour déplacer la figure. Pour tracer en pointillés les arêtes cachées : Cliquer sur l'icône "styles" Choisir Motif O puis cliquer sur R

préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe). Le changement de variable h=1x permet, à l'aide d'un DL0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser

Lycée JANSON DE SAILLY 23 novembre 2012 EXERCICE CONTRÔLE N O Tle ES Durée 2 heures 3 ( 1,5 points ) 1 En 2011, le prix moyen d’un lingot d’or d’un kg est de 36 479 C, contre 15 278 C en 2006. Calculer le pourcentage annuel moyen d’évolution du prix du lingot d’or entre 2006 et 2011. EXERCICE ( 1,5 points ) 2 On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h définies sur R. Cf -3 -2 -1 y y 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 1 2 3 x

déterminer le nombre de régions déterminées par ces n droites. 17. * : Inégalité de convexité. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et vérifiant ∀x1 , x2 ∈ I ∀t ∈ [0, 1] f ((1 − t) x1 + tx2 ) (1 − t) f (x1 ) + tf (x2 ) (définition d’une fonction convexe). Montrer par récurrence que pour toute suite de n nombres (t1 , ..., tn ) positifs ou nuls de somme égale à 1 et toute suite (x1 , ..., xn ) de n réels appartenant à I 3 EXERCICES MPSI A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME n f R. FERRÉOL 13/14