Combinaison convexe

considéré est : E = IR3 10(2,−1,3) = (20,−10,30) (1,0,2)+(5,1,−12) =(6,1,−10) 16 21/10/2010 1. Notion de combinaison linéaire Définition Soit E un espace vectoriel sur IR. n n n n 2 u ,u 1 1 1 1 , … , u sont n vecteurs de E v est un vecteur de E n n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ ∃ α , α , … , α ∈ IR tels que : v=α1u1+α2u2+...+αnun 2 v est combinaison linéaire de u , u 1 1 1 1 , … ,u 17 21/10/2010 Exemple (voir Exercice 1, TD) On considère dans suivants

Exercices - Familles libres - liées - génératrices - Bases : corrigé Exercice 1 - Combinaisons linéaires - L1/Math Sup On se demande s’il existe x, y ∈ R tel que u = xu1 + yu2 . 1. On doit résoudre le système 1 = x + 2y 2 = −2x + 3y Effectuant L2 + 2L1 → L2 , on trouve qu’il est équivalent à 1 = x + 2y 4 = 7y On peut donc trouver y, puis x : u est bien combinaison linéaire de u1 et u2 . Une façon plus abstraite de voir les choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1

. Puis montrer que ( 1 , 2 ) est une base de R2 . A2) Exprimer le vecteur e1 (resp. e2 ), comme combinaison lin´aire des vecteurs e Soit f : R2 → R2 , l’application lin´aire d´finie par f ( 1 ) = e e 1 1, 2. et f ( 2 ) = − 2 . A3) Pr´ciser la matrice A de f dans la base ( 1 , 2 ). Calculer A2 . Que pouvez vous dire de e f ◦f ? A4) Exprimer le vecteur f (e1 ) (resp. f (e2 )), comme combinaison lin´aire des vecteurs de e1 , e2 . e A5) En d´duire B la matrice de f dans la base (e1 , e2 ). Quelle

Terminologie A(γ) : polynôme caractéristique ; A(γ) = 0 : équation caractéristique ; γ1 , γ2 , . . . , γn : valeurs caractéristiques, ou valeurs propres ; k k k γ1 , γ2 , . . . , γn : modes caractéristiques, ou juste modes ; La réponse y0 [k] est une combinaison linéaire de modes caractéristiques. 13 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse entrée-nulle Exemple On résolut y [k] − 0,2y [k − 1] − 0,24y [k − 2] = 0 pour y [−2] = 3, y [−1] = 0,8; Valeurs propres : γ1 = −0,4, γ2 = 0,6 ; Modes

= y – 1 est une équation équivalente à x – y = -1 2x + y = 4 x=y–1 2x + 3y = 7 x + 0.5y = 1.5 2x + 3y = 7 2x + y = 3 2x + 3y = 7 est une équation équivalente à x + 0.5 y = 1.5 Manipulation B : substitution Manipulation C : combinaison linéaire    2x+y=4 x=y–1    2(y–1)+y=4 x=y–1 On peut remplacer une des deux équations d’un système par la somme ( ou la différence ) des deux équations du système. Il faut alors absolument garder l’autre équation.

ajoute à l’un quelconque des vecteurs xi une combinaison linéaire des autres. iv/ Si l’on multiplie l’un des vecteurs xi par un scalaire alors detB (x1 ; :::; xn ) est multiplié par : v/ Si 2 Sn , on a : detB x (1) ; :::; x (n) = " ( ) detB (x1 ; :::; xn ) : Preuve : Ces proporiétés découlent directement du fait que detB est une forme n linéaire alternée. Remrques 2 : 1/ La propriété (iii) est de grande utilité, car elle permet, à l’aide de combinaisons astucieuses de faire apparaitre des zéros

cynique, tente de proposer des solutions quant à la survie des hommes sur une planète qu'ils ont détruite. Dans la série photographique Atom Sttit Project, Chernobyl (Tchernobyl, Projet de Combinaison d'Atom ; en référence et hommage au célèbre robot Tetsuwan Atom, soit Astroboy), protégé des radiations par sa combinaison de survie jaune bricolée par ses soins, il pose le temps d'une photographie devant la centrale macabrement célèbre. Yanobe réalise depuis près de vingt ans d'étranges machines où il

éléments de L. I.B.2) L’ensemble des matrices triangulaires inférieures vérifie P1 : il contient la matrice E1,1 qui est de rang 1. Il vérifie P2 et P3 car il contient la matrice identité I (de rang n). C’est un sous-espace vectoriel de E (une combinaison linéaire de matrices triangulaires inférieures est encore triangulaire inférieure), donc L vérifie P4 . Enfin il vérifie P5 : un produit de matrices triangulaires inférieures est aussi une matrice triangulaire inférieure. Prouvons ce fait brièvement

NOTATIONS EXEMPLES DE LOIS DE COMPOSITION PARTIE STABLE POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIETES USUELLES DES LOIS DE COMPOSITION STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL REEL HOMOMORPHISME D’ESPACES VECTORIELS MATRICE ASSOCIE CANONIQUEMENT A UN SYSTEME DE VECTEURS COMBINAISON LINEAIRE DE VECTEURS D’UN ESPACE VECTORIEL SYSTEME GENERATEUR OU FAMILLE GENERATRICE DEPENDANCE LINEAIRE ORDRE ET RANG D’UN SYSTEME DE VECTEURS BASE D’UN ESPACE VECTORIEL CALCUL PRATIQUE 14 15 16 18 20 20 21 ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE

système d’équations linéaires homogènes à p variables. Alors l’ensemble des vecteurs solutions est un sous-espace vectoriel de COMBINAISONS LINEAIRES Définition Soit un entier, soient, n vecteurs d’un espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme : (oùsont des éléments de K) est appelé combinaison linéaire des vecteurs . Les scalaires sont appelés coefficients de la combinaison linéaire. Remarque : Si n = 1, alors et on dit que u est colinéaire à. CARACTERISATION D'UN SOUS-ESPACE VECTORIEL Théorème