Combinaison convexe

son époque : l'astronomie, les sciences physiques et les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction avec la notation f(x). On lui doit aussi la relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces (S-A+F=2) d'un polyèdre convexe (ex : le cube, le tétraèdre...), la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques. Ses travaux ont permis l'essor de l'analyse grâce aux équations différentielles et intégrales. Il aborda également la géométrie différentielle

croissante sur A ou d´ecroissante sur A. — On dit qu’elle est strictement monotone sur A si elle est strictement croissante sur A ou strictement d´ecroissante sur A. 5 Convexit´ e Soit f : Df → R une fonction et I ⊂ Df un intervalle. On dit que f est convexe sur I si les cordes de f sont au-dessus de sa courbe repr´esentative : cela signifie que pour tout couple de points (x, y) ∈ I 2 , et tout t ∈ [0, 1], on a : f (tx + (1 − t)y) ≤ t(f (x)) + (1 − t)f (y). On dit que f est concave sur I si les cordes

la fonction cube x 7! x3 , dont la d´eriv´ee s’annule en 0 bien qu’elle n’y atteigne ni un maximum ni un minimum). Cette situation peut ˆetre g´en´eralis´ee au cas des fonctions convexes et des fonctions concaves (Partie vi). Ces fonctions sont particuli`erement utiles en ´economie. Un exemple classique de fonction convexe est celui de la fonction exponentielle et la fonction logarithme donne l’exemple d’une fonction concave. Une bonne maˆıtrise de ces fonctions d’usage courant (ainsi que de quelques

2xt + 4yz + 6zt. Trouver une base q-orthogonale de R4 et donner la matrice de q sur cette base. Exercice 11: Soit a ∈ R et q la forme quadratique définie sur par : q(x, y, z) = x2 + (1 + a)y 2 + (1 + a + a2 )z 2 + 2xy − 2ayz. 1: Décomposer q en combinaison linéaire de de carrés de formes linéaires indépendantes. 2: Donner, suivant les valeurs de a, le rang et la signature de q. 3: Pour quelles valeurs de a q est une norme euclidienne ? Z 1 Exercice 12: Vérifier que q(P ) = 0 P P est une forme

Propriété fondamentale   w  w On considère trois vecteurs u , v et  avec v et  non colinéaires.   w Les vecteurs u , v et  sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels   w que u =x vy .   w Le vecteur u est une combinaison linéaire des vecteurs v et  . Conséquence D C A Soient A, B, C et D, 4 points tels que 3 quelconques d'entre eux ne sont pas alignés. Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs  ,  et  sont coplanaires, donc

1. Calculer l’aire A(k) de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x,y) vérifient : k ≤ x ≤ 0 et 0 ≤ y ≤ f (x) où k désigne un nombre réel négatif. 2. Calculer A(–3) avec une valeur approchée à 10−3 près. Calculer une intégrale, combinaison linéaire de deux intégrales Méthode On écrit I = aJ + bK où J et K sont des intégrales que l’on sait calculer. Exercice 7 On pose I1 = I1 + I = I 2 ∫ π 2 0 cos(x) dx, I = 1 + 2 sin(x) ∫ π 2 0 sin(2x) dx 1 + 2 sin(x)

(respectivement une colonne) ne comporte que des zéros alors le déterminant est nul Si des lignes (respectivement des colonnes) sont dépendantes alors le déterminant est nul Le déterminant ne change pas si on ajoute à une ligne (à une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (des autres colonnes) Det (aIn)=an Det(A) = n det(A) Exercice Calculer 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0 1 1 Pr S.Houfaidi Master Génie Logistique Exercices 1) Calculer les déterminants suivants

Image et noyau d’une application linéaire Définition 2 (Sous-espaces vectoriels) Soient E un K−espace vectoriel, F une partie de E (F ⊂ E). F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si 1. F contient le vecteur nul 2. F est stable par combinaison linéaire i.e ∀x, y ∈ F , ∀λ, µ ∈ K, λ.x + µ.y ∈ F . Rappel de tout début de PTSI : soit f : E −→ F une application.Si X est une partie de E, f (X) = { f (a)/a ∈ X} est l’image directe de X par f . C’est donc la partie que décrit f (x) quand x décrit

Indication pour l’exercice 4 Il n’y a aucune difficulté. C’est comme dans R3 sauf qu’ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l’exercice 5 Il suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi ?). Prendre ensuite une combinaison linéaire nulle et regarder le terme de plus haut degré. Indication pour l’exercice 6 Partir d’une base (e1 , . . . , ek ) de F ∩ G et la compléter par des vecteurs ( f1 , . . . , f ) en une base de F. Repartir de (e1 , . . . , ek ) pour la compléter

0.1.2. Prdictions....... 9 0.2. Les moteurs de la performance.. 10 0.3. Remise en cause de ltude de lirmes... 12 0.3.1. Dans les quipements et les entranements 12 0.3.2. Dans le dopage.. 13 1. Dans les quipements... 14 1.1. Combinaisons de natation....... 14 1.1.1. Son rle. 15 1.1.2. Speedo LZR Racer..... 16 1.1.3. La polmique. 17 1.2. Chaussures de sport. 18 1.2.1. Lamorti. 18 1.2.2. Adidas Boost.. 20 1.3. Larodynamisme. 21 1.3.1. Vitesse dcoulement