Complexe activé

(a, b, c) d entiers naturels non nuls, tels que - = 2' + b2 + 2"' 4 a c 2. Déterminer tous les triplets 3. Thouver le plus petit réel k > a tel que (a+b+c)2 :::; k(a2+b2+c2) pour tout triplet (a, b, c) E ]R3. 4. Soit z un nombre complexe de module 1. Montrer que soit Il + zl 2: 1, soit Il + z212: 1. 5. Un tournoi de ping-pong comporte 2n joueurs, n 2: 1. Pour la première ronde du tournoi on doit apparier les joueurs deux par deux, les n matchs étant joués simultanément. De combien

question, on suppose que n est un entier non nul. Soit k un nombre réel donné. Discuter, selon la valeur de k, le nombre de racines réelles de l’équation vn = k. 10) Soit le nombre réel  tel que 0 <  < /2 10a - Résoudre, dans le corps C des nombres complexes, l’équation (E) : (E) zn + z-n = 2 cos 10b - zs étant une racine de l’équation (E), calculer h(zs) = ts. 10c - En notant encore par vn le prolongement à C de l’application définie à la question 5, calculer vn(ts). ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE

acheteurs s’attendent parfois trop à ce que le RMS réponde à tous leurs problèmes. Cependant, le RMS est un système complexe qui demande de la préparation, patience et un travail régulier. Il n’a plus de place pour le travail approximatif et les arrangements. La formation doit être à la hauteur du système. Elle est nécessaire notamment pour interpréter les résultats parfois complexes du RMS. Question 3 : Quels sont les éléments qui peuvent empêcher une bonne utilisation du système ? La mise-à-jour

Il existe, par ailleurs, un proc´d´ dˆ au Math´maticien Allemand R. Dedekind, utilis´ e e u e e pour passer des nombres rationnels aux nombres r´els. C’est la notion de coupure dans e l’ensemble Q. On construit, enfin, l’ensemble C des nombres complexes, pour donner un sens aux racines des ´quations du second degr´ dont le d´scriminant est n´gatif et qui n’ont pas, de ce fait, e e e e de solutions dans R. En r´capitulant, on a les inclusions suivantes e N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. A partir d’un ensemble

la fonction Bessel Yn(x). | BINDEC | Convertit un nombre binaire en nombre décimal. | BINHEX | Convertit un nombre binaire en nombre hexadécimal. | BINOCT | Convertit un nombre binaire en nombre octal. | COMPLEXE | Convertit des coefficients réel et imaginaire en un nombre complexe. | CONVERT | Convertit un nombre d'une unité à une autre unité. | DECBIN | Convertit un nombre décimal en nombre binaire. | DECHEX | Convertit un nombre décimal en nombre hexadécimal. | DECOCT | Convertit

Laïos est roi de Thèbes. Marié à Jocaste, il a un enfant. Les oracles annoncent que cet enfant, quand il aura grandi, tuera son père et épousera sa mère. Evidemment, Laïos n'est pas d'accord et décide de tuer l'enfant. Il confie cela à un guerrier qui, au lieu de le tuer, va le perdre dans la forêt. L'enfant, les chevilles percées et attachées par une corde à un arbre provoque la pitié d'un couple de bergers qui le recueille et le confie à Polybe, le roi de Corinthe. Il reçoit alors le nom d'Oedipe

[(1 + i)3 ]2 = −8i donc le nombre complexe z = (1 + i)3 est solution de (E) ; or (1+i)3 = (1+i)2 (1+i) = (1+2i−1)(1+i) = −2+2i. Conclusion : −2 + 2i est une solution de (E). b. z2 = −8i, d’où z2 − (−8i) = 0 ⇐⇒ z2 − (−2 + 2i)2 = 0 ⇐⇒ [z − (−2 + 2i)] [z + (−2 + 2i)] = 0. On retrouve la solution précédente et aussi le nombre complexe 2 − 2i autre solution de l’équation (E). Correction du baccalauréat S 3. (1 + i)6 = −8i ⇐⇒ [(1 + i)2 ]3 = −8i. Le nombre complexe (1 + i)2 = 2i est solution de l’équation

faits plutôt que chercher à convaincre. Le chef d’entreprise est un homme de terrain, c’est sur le terrain que le consultant gagnera sa confiance. PHASE 1 : Décrire l’entreprise L’entreprise, quelque soit sa nature et sa taille est un système complexe, dont l’ensemble dépasse la somme des parties et où il est impossible d’agir sur l’un des éléments sans entraîner des conséquences sur tout ou partie des autres éléments le constituant , Il est donc nécessaire de construire une représentation de

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 11 décembre 2011 Enoncés 1 Nombres complexes Nombres complexes Exercice 1 [ 02025 ] [correction] z+1 Soit z ∈ U \ {1}. Montrer que z−1 ∈ iR. Exercice 2 [ 02026 ] [correction] Soient P = {z ∈ C | Imz > 0}, D = {z ∈ C | |z| < 1} et f : C\ {−i} → C définie par z−i f (z) = z+i a) Montrer que tout élément de P à son image par f dans D. b) Montrer que tout élément de D possède un unique antécédent par f dans P . Exercice 3 [ 02027 ] [correction] a) Déterminer

Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z vérifiant g (z) = 0. Représenter sur un dessin les points dont les affixes sont les nombres trouvés et démontrer que ces points forment un triangle équilatéral. 2. Démontrer qu’il existe un unique réel r , que l’on déterminera, tel que f (r ) = 0. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que, pour tout z ∈ C, f (z) = (z − r )(z 2 + az + b). 3. Calculer les racines carrées complexes de −12 + 40i . 4. Résoudre l’équation f (z) = 0 dans