Complexe

PCSI 1 2012/2013 Formules de mathématiques pour la PCSI Sabrina BERGEZ 2 Table des matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . .

1+ %3 i 4. Soit z0 = ; z1 = 2 2 2 Exprimer chacun des nombres complexes z0 , z1 et z2 sous forme trigonométrique. Partie B Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O; u ; v ) où l’unité est 1 cm, on considère les points 1 1 ; M0 , M1 et M2 d’affixes respectives + % 3 i ;1+ %3 i 2 2 2 S est la similitude directe de centre O, d’angle ( 3 et de rapport 2. 1.a. Déterminer l’écriture complexe de S. b. Justifier que S( M 0) = M1 et S(M1 ) = M 2 2. Soit Mn un

moyenne géométrique de n nombres positifs). Exercise 2.2.6 Montrer que n! < ; 8n 2 N, où n! = 1:2:3: : : : :n: 1 Exercise 2.2.7 Montrer que (1 + x)n (Inégalité de Bernoulli). 1 + nx 8n 2 N et pour tout nombre x Pour tout nombre x (réel ou complexe) et tout entier relatif positif k, l’ expression suivante : x (x 1) : : : (x k + 1) k! est appelée coe¢ cient binomial que l’ note par x . On écrit on k x x x (x 1) : : : (x = 1; = 0 k k! Pour x = n 2 N, on lit combinaison de k parmi n: k + 1) :

t(1−cos t)−(sin t)2 (1−cos t)2 sin t arctan ( 1−cos t ) cos t−1 1 (1−cos t)2 1+ (sin t)2 (1−cos(t))2 2 cos t−1 (1−cos t) (1−cos t)2 2−2 cos t −1 2 5. On d´duit des deux questions pr´c´dentes que e e e ∀t ∈]0, π], f (t) = 2 π−t . 2 6. Le nombre complexe uθ peut s’´crire sous la forme uθ = 1 − e−i θ . D’o` e u uθ = e−i 2 2 i sin θ θ 2 = 2 sin θ 2 ei π−θ 2 . π−θ 2 θ e Puisque θ ∈]0, π[, on a sin( θ ) > 0. Par cons´quent |uθ | = 2 sin( 2 ) et arg(uθ ) ≡ 2 [2π]. mod 7. voir

de quoi fonder sa pratique et engager un dialogue avec les autres disciplines. Daniel Roquefort présente tout d’abord les étapes qui marquent la construction de la personnalité de l’enfant à partir du stade du miroir jusqu’à la résolution du complexe d’Œdipe. Ensuite, l’auteur met à jour les limites du champ de compétence de l’éducatif et les fondements de la pratique. Dans sa réflexion, il aborde la question de l’éthique éducative. Puis, il s’interroge sur le fonctionnement institutionnel en

puissance maximale. La détermination de la puissance maximale qu’une ligne peut transporter est complexe. Elle doit prendre en compte par exemple la stabilité du réseau, les limites thermiques de la ligne, les limites de chute de tension… (Voir paragraphe dédié à ce sujet). Rendement d’une ligne En triphasé, si on désigne par U la tension entre phases et V la tension de phase, les puissances complexes [kVA] reçue et injectée s’écrivent respectivement: S R = 3U R I R S S = 3U S I S * * Équation

influences intra personnelles sont parties prenantes dans la vie de ce système. Par là, l’acte d’enseigner est donc une organisation dynamique pour laquelle la nécessité de la prise en compte de l’ensemble des paramètres en fait un véritable système complexe . Qu’est ce que la complexité ? Pour Jean Louis Lemoigne, « ce n’est pas tant l multiplicité des composants, ni même la a diversité de leurs interrelations, qui caractérisent la complexité d’un système : tant qu’ils sont pratiquement et exhaustivement

masse suspendue, x(t) , se réduit à : [pic] Fréquence propre complexe , complexe eigen frequency  : (Pulsation propre complexe : voir également pulsation) Le système différentiel du second ordre d’un système à 1DDL en vibration libre conduit à la solution du type [pic]. Cette solution ne conduit à des oscillations que si les r1 et r2 sont des nombres complexes, donc si : [pic] r1 et r2 sont les pulsations propres complexes du système à 1DDL Système conservatif, undamped system: Système

certain degré d’autonomie de décision, ait pour objet l’exercice d’une activité économique. Mais limiter l’entreprise en tant que telle à sa simple expression économique, c’est faire l’impasse sur un certain nombre d’aspect qui rendent d’autant plus complexe la définition même de l’entreprise. Car celle-ci est aussi : Une entité autonome : lors de sa création, l’entreprise acquiert une personnalité qui dépasse sa simple expression juridique. On attribue alors à l’entreprise une terminologie qui lui

vérifie : et . 3-Montrer que, pour tout réel x, . 4-Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle . Exercice2 : Le nombre est le complexe de module 1 et d’argument . 1.a) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : . b) Déterminer pour chaque solution le module et un argument. 2. Le plan complexe (P) est muni d’un repère orthonormal (O ; ; ) (unité graphique :2 cm). a) dans le plan ( P ) les points A, B, C d’affixes respectives ; ; . b)