Complexe

Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z vérifiant g (z) = 0. Représenter sur un dessin les points dont les affixes sont les nombres trouvés et démontrer que ces points forment un triangle équilatéral. 2. Démontrer qu’il existe un unique réel r , que l’on déterminera, tel que f (r ) = 0. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que, pour tout z ∈ C, f (z) = (z − r )(z 2 + az + b). 3. Calculer les racines carrées complexes de −12 + 40i . 4. Résoudre l’équation f (z) = 0 dans

sur près de 3 ans par le père de Hans,médecin et ami de Freud. Pour Freud, l’analyse de la névrose d’un adulte conduit à faire des hypothèses sur la sexualité de l’enfant. . Le petit Hans servit donc de base à Freud pour expliquer le complexe d'oedipe. Les parents du petit Hans le décrivent comme un enfant gai et franc .On remarque chez Hans un grand intérêt pour ses parties génitales, celles des adultes ou des animaux, qu'il nomme fait wiwi. Cependant on note qu'il commence a ressentir

voir page 11 voir page 12 Pour réels et un entier naturel non nul, factoriser Exercice 9. 2 Factorisations Identités remarquables. Réponse : voir page 12 pour réel (ou complexe) si si Somme des termes d'une suite géométrique : où sont trois nombres réels ou complexes. pour réels (ou complexes) et un entier naturel non nul : Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice 10. Calculer en fonction de Exercice 5. et Démontrer

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

Module et conjugué d'un nombre complexe Nombres complexes On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, Définition - Propriétés Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires

(enseignement obligatoire) → − − → Le plan complexe est muni d’un rep`re orthonormal direct (O ; u , v ). On rappelle que pour e → − → − → → − − tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a : |z| = w et arg(z) = ( u , w ), d´fini ` 2kπ pr`s e a e (avec k entier relatif). Dans cet exercice, on prend comme pr´requis le r´sultat suivant : e e a e Si z et z sont deux nombres complexes non nuls alors arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) (` 2kπ pr`s). 1. Soit z et z sont deux nombres complexes non nuls, d´montrer que e z a e arg

1 = x a) 0 b) 1 c) +  2) L’image de l’intervalle [– 1, 2 ] par la fonction f : x  x2 est a) [0 , 4] b) [1, 4] c) [– 1 , 4] x–i a pour module : x+i c) 2 3 x2 – 1 x2 + 1 3) Soit x un réel. Le nombre complexe z défini par : z = x–1 x+1 4) Un argument du nombre complexe : –1 + i 3 est :   a) b) – 3 3 a) 1 b) c) Exercice 2 : (4 points)  f(x) = cosx  1–x Soit la fonction f définie par :  f(x) = x3 – 12x + 1  f(x) = 1 + x – x2 – 4  1) Calculer lim f(x) x + si x

4iy + ixy - iy + y 2 + y2 x + iy - 1 (x - 1 + iy)(x - 1 - iy) (x - 1) x2 - 5x + 4 + y2 + 3iy = x2 - 5x + 4 + y2 + i 3y donc X + i Y = (x - 1)2 + y2 (x - 1)2 + y2 (x - 1)2 + y2 Comme on sait que x, y, X et Y sont réels et que deux nombres complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire, on en déduit que : 2 2 3y X = x - 5x + 4 + y et Y = . 2 + y2 (x - 1) (x - 1)2 + y2 b) E est l'ensemble des points M d'affixe z ≠ 1 tels que Z soit réel. Z est réel ⇔ Y = 0 ⇔ 3y =

ses concepts ainsi que ses outils ? Quels sont les points forts et les points faibles de l’analyse systémique ? L'approche systémique est une manière particulière d'aborder un objet complexe comme celui de l'entreprise. Elle repose sur le postulat suivant : Un système est un ensemble cohérent plus ou moins complexe, composé d’un nombre déterminé de structures ou d’éléments, souvent divers, reliés à un plan commun ou concurrent pour un but commun. On peut tirer de la phrase ci-dessus les 4 concepts

matrice SDP de dimension n. Il existe une et une seule matrice L triangulaire inférieure et D diagonale positive, telles que A=LDLt. Remarque : Crout a le même comportement numérique que Cholesky. Cependant, il est plus utilisé car généralisable au cas complexe. Soit A une matrice symétrique définie positive (quelconque ?). L est une matrice triangulaire inférieure de dimension n dont la diagonale se compose de 1. D est une matrice diagonale de dimension n. L est en fait la matrice B pour laquelle les termes