Composition musicale

ℑ(∇,∇) de toutes les fonctions de x dans ∇ est un ∇ – espace vectoriel 5) L'ensemble de Mn x m (K) de toutes les matrices n x m est un K – espace vectoriel Remarque: pour tous ces exemples, il est bien sûr nécessaire de définir les deux lois de compositions Conséquence des axiomes: 1) λ ⋅ 0 = 0 ∀λ∈K 2) 0 ⋅ v = 0 ∀v∈V 3) λ ⋅ v = 0, alors λ = 0 ou bien v = 0 4) λ ⋅ (-v) = - (λ ⋅ v) ∀ λ ∈ K et ∀ v ∈ V Soit V un K – espace vectoriel. On dit qu'une partie W de V est un sous – espace vectoriel (ou plus

(γm)m∈ où γm = ¨  i  m−i Le seul cas où αiβm−i est non nuls est lorsque i = n et m − i = p C'est-à-dire m = p + n. i=0 m Définition - Propriété Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. L’ensemble des suites presque nulles muni des lois de compositions + et × précédemment définies est un anneau commutatif unifère appelé anneau des polynômes à une indéterminée, à coefficients dans A et est noté A[X]. Remarque On note P = (a0, a1, a2,......., ap, 0, 0, ........) = ¨ a n X n . X = (0, 1, 0,

les nombres r´els et e e complexes. Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006 e 1 TABLE DES MATIERES 1 Les nombres r´els e 1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . 1.2 Les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . 1.3 L’ordre dans IR . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Partie enti`re d’un nombre r´el x : E(x) e e 1.5 Les intervalles ouverts et ferm´s dans IR e 1.6 Les intervalles dans IR

vectoriel Définition 1.1. On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K, tout ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une loi de composition interne (appelée addition et notée « + » ) et d’une loi de composition externe (appelée multiplicateur par un scalaire et notée « . ») vérifiant : 1. L’addition est une loi de composition interne sur E : ∀(u, v) ∈ E2 , u + v existe et : u + v ∈ E. 2. L’addition est associative, c’est à dire : ∀(u, v, w) ∈ E3 , (u + v) + w = u + (v + w) =

puisse multiplier chaque vecteur u d’un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u. Voici la définition formelle : Définition 1 Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : – d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E × E dans E : E×E → (u, v) → E u+v – d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de K × E dans E : K×E → E (λ, u) → λ · u 1 2 qui vérifient les propriétés suivantes : 1. u + v = v + u (pour tous u, v ∈ E) 2. u + (v + w) = (u +

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL I- Loi de composition interne et Loi de composition externe......................................................................2 I-1 Loi de composition interne (L.C.I.).................................................................................................................2 I-1-1 Définition...................................................................

vectoriels On traite dans ce qui suit le cas r´el, le cas complexe se traitant de mani`re e e similaire. 1.1 Espaces vectoriels D´finition 1.1 Un espace vectoriel sur R est un triplet (E, +, .) o` e u – E est un ensemble, – “+” une loi de composition interne : E × E → E telle que (´l´ment neutre) ∃0E ∈ E avec ∀x ∈ E, x + 0E = 0E + x = x ee (oppos´) e ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E avec x + (−x) = (−x) + x = 0E e ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x + (y + z) = (x + y) + z (associativit´) (commutativit´) ∀(x, y) ∈ E 2 ,

(λ · y), — pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K : (λ + µ) · x = (λ · x) + (µ · x), — pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K : λ · (µ · x) = (λµ) · x. Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E, les éléments de K sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la

Qu’est ce qui fait la valeur d’une œuvre d’art ? - Concept d’œuvre aucun ca le prix kel coute I. Définir « la valeur » II. A quelle condition est-il possible de définir la valeur ? III. ( Que déterminons-nous lorsqu'on juge une œuvre d'art ?) Tout d’abord avant de se demander ce qu’est la valeur d’une œuvre d’art, il conviendrait de s’interroger sur le concept d’œuvre, qui sera notre première interrogation. En effet le mot « œuvre » vient du latin qui signifie travail