Constante d'équilibre

Démonstration Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée est h' (x) = f '(x) × f (-x) + f(x) × f '(-x) × (-1); comme f '(x) = f (x) et f '(-x) = f (-x), on trouve h'(x) = 0. La fonction h est donc constante, et pour tout réel x, h(x) = h(0) = f (0) × f (0) = 1. Ainsi, pour tout réel x, f (x).f (-x) = 1, ce qui montre que f (x) ne peut pas être égal à 0. b) Il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1. Démonstration

que lorsque la droite monte, sa pente m est positive ; lorsqu’elle descend, sa pente est négative ; pour une droite horizontale, la pente est nulle. Enfin, une droite verticale « a une pente infinie » : son équation est du type x = k où k est une constante. N’hésitez pas à aller vous entraîner avec l’activité suivante : http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/droite-geop/index.php II – Nombre et fonction dérivée L’idée générale de cette partie exploite la réciproque du résultat précédent

sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 2, la fonction f : : x → ln(u(x)) est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 f (x) = 2 1 u (x) = = . u(x) 2x x Pour tout réel x > 0, posons u(x) = ln 2 et v(x) = ln x. La fonction constante u et la fonction v sont dérivables sur l’intervalle ]0, +∞[. D’après le théorème 3, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout réel x > 0 g (x) = u (x) + v (x) = 0 + 1 1 = . x x Pour tout réel x > 0, f (x) = g (x) = 1 .

Définition Une fonction f définie sur ℝ est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = ax + b. Pour calculer l'image d'un réel x, il suffit donc de multiplier x par le coefficient a, puis d'ajouter la constante b. Exemples : 1. soit f définie par f(x) = 2x - 5; f(x) est bien de la forme ax + b avec a=2 et b=-5, c'est donc une fonction affine. 2. soit g définie par g(x) = -x + 2; on a g(x) = -1x + 2, g(x) est bien de la forme ax + b avec a=-1 et b=2

condensateur et tension a ses bornes e ` Soit un montage contenant un g´n´rateur de courant constant, une r´sistance et un condensateur. e e e Le graphique repr´sentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) ` courant constant est une e a droite passant par l’origine. Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un r´el. e dq dt On int`gre pour trouver la primitve ce qui nous donne q(t)=it+A e Pour trouver A (constante d’int´gration), on utilise les conditions initiales. e A t=0, on a q=0 A 0 Soit 0 i ¢

décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors . - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : . - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Remarques : - On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre. - On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. - Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 3. Maximum ; minimum

rapport à l'ordre des antécédents. Remarque : Si f est une fonction strictement décroissante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que a < b on a f(a) > f(b). ● Définition 3 : ● Si f est une fonction constante sur I alors ∀ a ∈ I et b ∈ I tels que a  b on a f(a) = f(b). Une fonction f est constante si et seulement si les images sont identiques quelque soient les antécédents. Page 3 / 18 ©Vincent Obaton Les fonctions de référence Lycée Stendhal ( Grenoble ) I.3 Parité Fonction paire

x0 n'est pas moyennable. 4. Cas particuliers. T →+∞ (a) Soit x une fonction continue non constante de B, périodique de période P > 0 . (a-1) Montrer que x n'admet pas de limite en +∞. (a-2) Montrer que x n'admet pas de limite en −∞. (a-3) Montrer que pour tout réel a : aa+P x(t)dt = 0P x(t)dt. (a-4) En déduire que x est moyennable et donner sa moyenne. (b) Montrer qu'une fonction constante est moyennable et donner sa moyenne. (c) Soit x une fonction de B telle que lim x(t) = c, où c est

points. 4) Tracer la représentation graphique d'une fonction constante en exercice y Par une fonction constante (f : x ï b), tous les nombres ont la même image. Donc tous les points de la représentation graphique de la fonction ont la même ordonnée. Donc la RG est une droite parallèle à l'axe des abscisses et d'équation y = b. Méthode: i) calculer les images de 2 nombres par la fonction. ii) Ecrire la phrase, " f est une fonction constante, sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe

en posant   On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution . On ne pourra donc définir la fonction h que sur des domaines ne comprenant pas la valeur . Si c est nul et d est non nul, la fonction g est constante et par conséquent h est affine. Si c et d sont nuls, h n’est pas définie. Remarques à ne lire qu’en deuxième lecture. On constate qu’en réalité, des conditions plus restrictives doivent être observées pour obtenir une fonction h homographique non