Coordonnées homogènes

référentiel donné. • Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié. LES PRÉREQUIS • Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accélération en tenant compte de conditions initiales. LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques. ESSENTIEL Systèmes usuels de coordonnées • Coordonnées cartésiennes —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = x ex + y ey + z ez ; base (ex , ey , ez ) (doc. 1). • Coordonnées cylindriques —➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er

mécanique hamiltonienne, Systèmes intégrables 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Equation d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Coordonnées symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Système complètement intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Systèmes complètement intégrables . . . . . . . . . . . 1.2.2 Méthode d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Description

équilibrés -v- 31 33 35 35 Chapitre 3 CINEMATIQUE DU POINT 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Trajectoire, vitesse et accélération Vitesse scalaire et abscisse curviligne Courbure, vitesse et accélération Mouvement en coordonnées sphériques Mouvement plan en coordonnées polaires Mouvement en coordonnées cylindriques 36 37 37 38 39 40 Chapitre 4 CINEMATIQUE RELATIVE 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Repères fixes et mobiles Première loi de la cinématique Formule de Poisson Deuxième loi de la cinématique Transformations

Limites de fonctions Exercice 1 Calculer la limite de toutes les fonctions en + . f1 (x) = x2 + 3x + 5 f2 (x) = 2x3 + 5x2 + 4x + 1 f3 (x) = x2 - 5x + 4 f4 (x) = 2x3 - 4x2 + 7x +1 Exercice 2 Etudier la limite en + f(x) = 3x2 + 5x - 7 g(x) = 7x2 - 11x + 3 2x   1 hÔxÕ x¡1 des fonctions f,g et h de R dans R d´finies par : e Exercice 3 On donne une droite (D) munie d’un rep`re (O,i). Un point M se d´place sur cette droite et sa position, en e e fonction du temps t (en secondes), est d´finie par

temps permet de repérer les positions différentes. On associe au système de référence un repère. Ce repère est caractérisé par un trièdre orthonormée direct. Un point matériel est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins une de ses coordonnées dans R0 varie avec le temps. Un solide est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins un de ses points est en mouvement par rapport à R0. 2. Changement de référentiels. repères d'espace: Point mobile par rapport à un référentiel:

pour x=1-k 2) Mk est le point de Ck d’abscisse 1-k donc son ordonnée est fk(1-k)=ek-1=e-(1-k). Il est donc bien sur T. 3) b) T passe par le point de coordonnées ( 0 :1). On en déduit que l’unité graphique en ordonnée est 2 cm. Commefk0=k, on lit k=2 f2x=0 si et seulement si x=-2, donc la courbe C2 passe par le point de coordonnées (-2 :0). On en déduit que l’unité graphique en abscisse est également 2cm. 4) En dérivant le polynôme et intégrant l’exponentielle, on trouve : I=-x+2e-x02-02-e-xdx=-4e-2+2+-e-x02=3-5e-x

Consignes Bonjour à tous ! Avant toute chose sachez que je préfererais être avec vous mais cela m’est impossible. Donc s’il vous plaît ayez la même attitude avec la personne qui vous surveille que lorsque vous êtes en cours avec moi. Voici un sujet blanc en vue de votre préparation aux Brevet des collèges Vous etes autorisés à vous servir de votre cours mais vous devez le faire seul pour vous entrainer ! Comme d’habitude, je ne vous demande pas forcément de réussir mais au moins d’essayer 

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE TRAVAUX PRATIQUES DE SCIENCES PHYSIQUES ETUDE DE LA CHUTE LIBRE 1– OBJECTIFS : Les manipulations proposées permettent de mettre en œuvre et d'évaluer : les méthodes et savoir-faire expérimentaux suivants : - Réaliser une séquence vidéo : chute d’une balle sans vitesse initiale. (on pourra aussi utiliser une séquence existante) - utiliser un logiciel EXAO et un tableur le compte-rendu d'une étude expérimentale : - vérifier une relation