Coordonnées homogènes

Page 1 sur 11 PCSI 2009-2010 Programme de Mathématiques Lycée Marceau 4. Équations différentielles A) Équations linéaires du premier ordre 1 - Définition et exemples, définition d’une solution sur un intervalle. 2 Résolution de l’équation homogène : structure (d’espace vectoriel) de l’ensemble des solutions, expression intégrale des solutions, sur un intervalle. Une solution non identiquement nulle ne s’annule pas, présentation usuelle des calculs. Unicité d’une solution satisfaisant à une

base ( i , j , k ) . La position du point M est caractérisée par ses coordonnées cartésiennes x, y, z. Le vecteur d'équations OM s'écrit alors : OM  x i  y j  z k I.1.2 Repère polaire Dans le but de simplifier les calculs, il est avantageux de tenir compte de la y  symétrie du problème posé. Ainsi dans le e cas par exemple où le point matériel se  déplace sur un cercle il est intéressant er M y d'utiliser les coordonnées polaires. La  r position du point matériel M est alors j θ O  définie

bilan en coordonnées cartésiennes__ 1.4.3.1 Calcul de d2q1 _____________________________________________________________ 1.4.3.2 Calcul de d2q2 _____________________________________________________________ 1.4.3.3 Calcul de d2q3 _____________________________________________________________ 1.4.3.4 Bilan énergétique global ____________________________________________________ 1.4.4 Equation de la chaleur en coordonnées cylindriques ou sphériques _______________________ 1.4.4.1 Coordonnées cylindriques

rappelons également quelques relations mathématiques utiles : u =0 ∫ u exp ⎛ – ----- ⎞ du = ⎝ 2-⎠ 2 π -- . 2 Laplacien en coordonnées cylindriques d’une fonction scalaire g ( r, θ, z ) : ∂ g 1 ∂g 1 ∂ g ∂ g Δg = -------- + -- ----- + ---- -------- + -------- . - - - 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ∂r 2 2 2 Divergence et rotationnel en coordonnées cylindriques, d’un vecteur A = Ar ur + Aθ uθ + A z u z : 1 ∂ ( r Ar ) 1 ∂ Aθ ∂ A z div A = -- ----------------- + -- --------- + ---------

.............................................................................................. Théorie de la membrane en coordonnées cartésiennes .......................... Voiles dont la surface moyenne est un paraboloïde ................................ Voiles dont la surface moyenne est un conoïde ....................................... Théorie de la membrane en coordonnées curvilignes............................. Transformation d’un voile par affinité .........................................

Cinématique du point et du solide ..........................................................................................5 2.1 Coordonnées cartésiennes ..............................................................................................5 2.2 Coordonnées cylindriques ...............................................................................................6 2.3 Coordonnées sphériques.................................................................................................8 2.4 Position

conducteurs). Applications du cours : milieux guidés comme les guides d’onde (les fibres optiques) Antennes 1 Chapitre I : Rappels d’analyse vectorielle I. Les différents opérateurs Rq : on se limitera pour les opérateurs au cas des coordonnées cartésiennes. I.1 Le gradient : Définition : Soit U(x,y,z) une fonction. Sur la distance d ℓ = dx x + dy y + dz z la fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU

positive. L’allure de cette spirale est donnée sur la figure 1. a - Placer sur la figure 1, à rendre avec votre copie, les coordonnées polaires ρ et θ du point M. b - Représenter sur la figure les vecteurs de base u ρ , u θ du système de coordonnées polaires attaché au point M ainsi que ceux du système de coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet). { } Exprimer les coordonnées cartésiennes des vecteurs u ρ et u θ . On notera u x et u y les vecteurs de base du repère Oxy. 2/ Application L’angle

applications de classe C 2 et F : R2 → R dénie par F (x, y) = f (x + ϕ(y)). a) Justier que F est de classe C 2 . 2 ∂2F b) Vérier l'égalité : ∂ F ∂F − ∂x∂y ∂F = 0. ∂x2 ∂y ∂x Exercice 26 Exercice 27 Soit f : R2 → R une fonction de classe C 1 homogène de degré n ∈ N c'est-à-dire vériant ∀t ∈ R, ∀(x, y) ∈ R2 , f (tx, ty) = tn f (x, y). a) Montrer que Exercice 22 [ 00045 ] Soit f : R2 → R une fonction de classe C 2 et g : R2 → R dénie par g(u, v) = f (uv, u2 + v 2 ). a) Justier que g

définir, pour le point matériel M étudié : par rapport au référentiel ℜ sa position à chaque instant. On la caractérise indifféremment : par trois réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser : ♦ ♦ ♦ les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base