Coordonnées polaires

Soit un deuxième mobile M, astreint à se déplacer sur une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R (Voir figure ci-contre). Sa vitesse angulaire est =d/dt. On suppose qu’à t=0s,  = 0rad.  1°)- Ecrire, dans le repère (o ,x ,y) ,les coordonnées de 0 M , xM(t) et yM(t). Préciser la nature du mouvement. 2°)- Comment, à partir du mouvement de M, peut-on définir le mouvement de A ? F. MEKIDECHE – CHAFA, A. CHAFA, A. DERBOUZ, A. DIB, M. HACHEMANE, F. KAOUAH -5- M x L.M.D-ST

rappelons également quelques relations mathématiques utiles : u =0 ∫ u exp ⎛ – ----- ⎞ du = ⎝ 2-⎠ 2 π -- . 2 Laplacien en coordonnées cylindriques d’une fonction scalaire g ( r, θ, z ) : ∂ g 1 ∂g 1 ∂ g ∂ g Δg = -------- + -- ----- + ---- -------- + -------- . - - - 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ∂r 2 2 2 Divergence et rotationnel en coordonnées cylindriques, d’un vecteur A = Ar ur + Aθ uθ + A z u z : 1 ∂ ( r Ar ) 1 ∂ Aθ ∂ A z div A = -- ----------------- + -- --------- + ---------

Classe de 1° S Géométrie Produit scalaire 1. Divers 1-1 : QCM 1 (c) 1-2 : QCM 2 (c) 2. Trigonométrie 2-3 : Divers 2-4 : Hexagone 2-5 : Triangle rectangle 2-6 : Coordonnées polaires 2-7 : pi/12 2-8 : Calculs de base 3. Dans le plan 3-9 : Basique 1 3-10 : Basique 2 3-11 : Basique 3 3-12 : Basique 4 3-13 : Basique 5 3-14 : Basique 6 (c) 3-15 : Basique 7 3-16 : Rectangle (c) 3-17 : Angles d’un triangle (c) 3-18 : Carré 3-19 : Parallélogramme 1 3-20 : Parallélogramme 2 (c)

des positions successives qu’il occupe au cours du temps (voir figure I.1). Figure I.1. I. 2 I.2 : Cinématique à 1 dimension C’est le cas particulier de la trajectoire rectiligne. I.2.1 : Repérage du mobile Le mobile est repéré par une coordonnée cartésienne x (t) sur un axe x qui coïncide avec la trajectoire (ou qui lui est parallèle). Ceci implique le choix d’une origine, d’un sens et d’une unité de mesure de longueur (voir figure I.2). Figure I.2. I.2.2 : La vitesse moyenne La vitesse

Intensité – Module II.4. Mesure algébrique III. OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES VECTEURS……………………………..10 III.1. Addition vectorielle III.2. Soustraction vectorielle III.3. Relation de Chasles III.4. Produit d’un vecteur par un scalaire IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES…………………………………..11 IV.1. Système cartésien orthonormé bidimensionnel IV.2. Système cartésien orthonormé tridimensionnel V. PRODUIT SCALAIRE……………………………………………………………………15 V.1. Définition IV.3. Composantes d’un vecteur V.2. Forme géométrique

base de V si il est formé de trois vecteurs non coplanaires. u v w P ROPOSITION 3.1 ♥ Coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace − − − − Soit (→, →, →) une base de V . tout vecteur → de V s’exprime comme une combinaison linéaire unique des 3 vecteurs u v w x →, → et → c’est-à-dire : − − − u v w − − − − x u v w ∀x ∈ V , ∃!(α, β, γ) ∈ R3 : → = α→ + β→ + γ→ − − − − Le triplet (α, β, γ) est appelé coordonnées de → dans la base →, →, →). On notera : x u v w   α α − − → β ou → β ou aussi →(α

projection orthogonale du point F sur la droite (d). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (_O_, (OF), (d)). Soit p la distance de O à F (_p_ s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (_p_,0). Pour un point M de coordonnées (_x_,_y_) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes : {draw:frame} {draw:frame} ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] : {draw:frame} soit après

Jacques Amyot d'Auxerre – Année 2008-2009 Q en ordonnée, r en abscisse Exercice N°3 q2 u A ,où 4 0 AM 2 1. La force exercée par A sur M est u A est le vecteur unitaire selon q2 e r , elle dérive par 4  0 r 2 AM. En coordonnées polaires de centre A, on pourrait l'écrire conséquent de l'énergie potentielle q2 q2 = 4  0 r 4  0 AM 2. L'énergie potentielle U correspondant à l'ensemble des forces s'exerçant sur M est la somme du terme précédent et de trois termes équivalents

constructions de figures de façon purement géométrique mais également à l’aide d’équations algébriques. On peut par exemple placer un point défini comme étant l’intersection de deux lignes ou l’image d’un autre par une transformation mais aussi grâce à ses coordonnées. De même, une droite peut être tracée comme étant une médiatrice, bissectrice, . . . ou alors grâce à une de ses équations. GeoGebra contient aussi un tableur permettant, entre autre, de récupérer des données géométriques de la figure dans une feuille

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Repère orthonormal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . II) Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Produit vectoriel