Correction Ds F2

sous-espaces Conformément à ce qu’exige le programme, commençons par quelques rappels de première année. Définition 1 Soient F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces vectoriels d’un espace E. On appelle somme des sous-espaces F1 , F2 , . . . , Fn l’ensemble des vecteurs de la forme x1 + x 2 + · · · + x n où x1 ∈ F1 , x2 ∈ F2 , . . . , xn ∈ Fn . n Cet ensemble se note F1 + F2 + · · · + Fn ou encore Fk . k=1 Définition 2 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. La

59 3.6.2 Formules d'AdamsBashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6.3 Formules d'AdamsMoulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6.4 Schémas de prédictionévaluationcorrection (PEC) 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . * Equations du second ordre : méthode de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.1 Introduction 62 3.7.2 Méthode de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 Tests vous êtes le propriétaire du fichier -G vous faites partie du groupe propriétaire du fichier -N le fichier a été modifié depuis sa dernière lecture f1 -nt f2 le fichier f1 est plus récent que le fichier f2 f1 -ot f2 le fichier f1 est plus ancien que le fichier f2 f1 -ef f2 le fichier f1 et le fichier f2 sont des liens physiques vers le même fichier ! « not » -- inverse le sens des tests précédents (renvoie vrai si la condition est fausse). Exemple 7.4. Test de liens cassés

toujours rédigé clairement, avec toutes les indications et tous les commentaires que nécessite leur compréhension. L’objectif essentiel est le respect des élèves que l’on met dans une situation proche de celles des concours tout en les guidant dans la correction. Il semble également que des ouvrages spécifiques suivant les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soient justifiés en Mathématiques Spéciales alors qu’ils ne le sont pas en premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soient

Soient fj ∈ Lpj (X) pour j = 1, . . . , n. Alors f1 . . . fn ∈ L1 (X) et on a n 1/pj |f1 (x) . . . fn (x)|dx ≤ X j=1 X |fj (x)|pj dx . D´monstration. Appliquer l’in´galit´ de H¨lder du Th´or`me 1.5.1 en posant e e e o e e f = f1 et g = f2 . . . fn , puis proc´der par r´currence sur n. e e Voici une premi`re application tr`s importante de l’in´galit´ de H¨lder — e e e e o qui n’est rien d’autre que l’in´galit´ triangulaire dans Lp (X). e e Th´or`me 1.5.3 (In´galit´ de Minkowski) Soient

tient ` adresser ses vifs remerciements ` tous ceux qui ont contribu´ de pr`s ou de loin a a e e a ` l’aboutissement de ce travail, notamment les ´l`ves des diff´rents CPGE du Maroc par leurs ee e questions, messages, .... Aux coll`gues par leurs, corrections, propositions, parfois source latex e (Prs. Boujaida, Chaira, Ratbi et Delaunay), ....et ` toute autre personne, qui par des actes a simples et spontan´s a donn´ du souffle ` ce travail. e e a L’auteur ne saurait pas comment remercier Pr. Boujaida

Conservation de la quantité de mouvement Formulation macroscopique On applique le théorème de transport (1.1) à la fonction vectorielle représentant la quantité de mouvement locale f = ϱu : d dt ∫ ∫ ϱudV = V V ∂ϱu dV + ∂t ∫ S ϱu(u · n)dS. Il existe d’autres variantes permettant d’exprimer la dérivée matérielle de ϱu. En utilisant le théorème de la divergence, on tire : d dt ∫ ∫ ( ϱudV = V V ∂ϱu + ∇ · ϱuu dV, ∂t ( ) ) ou bien en servant en plus de l’équation de continuité

mobile par rapport à liée à M. dOM =  ------------- .  dt  / de r Doc. 16. e q = ------- . dq er x 1. Cinématique Notation : Conformément à l’usage, la dérivation par rapport à la variable temps est notée par un point : d2s ds ˙ s = ---- et ˙˙ = ------- . s dt dt 2 4.2. Expression en coordonnées cartésiennes OM = xe x + ye y + ze z . En coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse v a pour expression : v ( M )/ ˙ ˙ ˙ = x ex + y e y + z ez . 4.3. Expression

165,22 164,17 163,27 Masse de l’eau 98,04 98,88 99,06 98,67 96,37 Volume d’eau 98,23 99,07 99,25 98,86 96,56 1,095 Écart relatif 0,017 7 0,009 3 0,007 5 0,011 4 0,034 4 0,011 0 F1 F2 F3 F4 F5 Fioles jaugées Tare 62,00 62,24 60,62 62,32 59,84 Masse avec eau 161,72 161,85 160,42 162,12 159,49 Masse de l’eau 99,72 99,61 99,80 99,80 99,65 écart-type moyenne écart relatif

(prédites, Predicted Pictures). Le déplacement est évalué non pas sur un bloc mais sur un macrobloc (16 × 16 pixels). Les données d’une image P constituent un ensemble de vecteurs décrivant la localisation des macroblocs dans l’image de référence et la correction à apporter. La réduction de bande par rapport à une image I est d’environ 50 %. e ag ag e I Im Position réelle Vecteur d'erreur Im Im e ag P V Bloc i Figure 1.32 Principe du codage des images B (bidirectionnelles)