CHAPITRE 2
SÉRIES ENTIÈRES

2.1 Séries entières
Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R.
Une série entière est notée semble :

an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en



∆= x∈R: 


∞ n=0 



n an x converge



qu’on appelle domaine de convergence de la série entière.
Exemple 2.1.1

∞

xn
.
n! n=0 xn
Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim
= lim
= 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ fn (x) n+1 donc ∆ = R.
∞
xn
Exemple 2 :
.
2 n n=1 fn+1 (x) xn n 2
Posons fn (x) = 2 on a : lim
= lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x)
Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge.
Etudions le cas où |x| = 1.
∞
|x|n xn 1 on a fn (x) = 2 = 2 · La série est alors absolument convergente dans [−1, 1] ; et alors
2
n n n n=0 ∆ = [−1, 1]
Exemple 1 :

21

SÉRIES ENTIÈRES

Exemple 3 :

∞

n!xn .

n=0

Cette série ne converge que si x = 0 car lim

n−→∞

fn+1 (x)
= lim |(n + 1)x| et la limite n’existe que n−→∞ fn (x)

si x = 0 : d’où : ∆ = {0}.
∞
xn
Exemple 4 :
.
n n=1 fn+1 (x) xn n
Posons fn (x) = on a lim
= lim x = |x|. Si |x| < 1, la série est absolument n−→∞ n−→∞ n fn (x) n+1 convergente et si |x| > 1 la série diverge.
Etudions le cas où |x| = 1.
1
x = 1 : c’est la série harmonique
, elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée
, elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[.

Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel)
Soit
an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite
(an xn0 )n soit bornée. Alors :
1. La série

an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |.

2. La série
|x0 |.

an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r <

Preuve.
La suite (an xn0 )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M .
1.) Pour |x| < |x0 | :
∞
n an xn0 xn x n x n