Cosinus

Fonctions trigonométriques Les fonctions sinus et cosinus Valeurs usuelles x en radians sin(x) cos(x) 0 0 1 π = 0, 52 . . . 6 1 = 0, 5 2 π = 0, 78 . . . 4 1 √ = 0, 707 . . . 2 1 √ = 0, 707 . . . 2 π = 1, 04 . . . 3 √ 3 = 0, 86 . . . 2 1 = 0, 5 2 π = 1, 57 . . . 2 1 0 √ 3 = 0, 86 . . . 2 Représentation graphique de la fonction sinus 1 −2π −7 −6 −5 − 3π 2 −4 −π −3 −π 2 −2 −1 −1 1 π 2 π 2 3 y = cos(x) 4 3π 2 y = ) (x sin 5 6 2π 7 • La fonction sinus est définie

variables pour se ramener en 0. Exercice 5 - Ordre le plus grand possible - L1/Math Sup - ?? Développer 1+ax2 1+bx2 de façon "abstraite" jusqu’à un ordre raisonnable, puis étudier les termes qui peuvent s’éliminer avec le développement limité du cosinus. Exercice 6 - Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100). Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ?? 1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours. 2. f est impaire. 3. Écrire f−1(x)

façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique : [pic]= –2[pic]2 + (–3)[pic](–3) = 5. On en déduit que : cos[pic]= [pic]. Donc, avec la calculatrice, on obtient : [pic][pic]67,38°. Ex 72 Le vecteur [pic] de coordonnées ([pic]–

suivantes : __________________________________________________________ Fonction Résultat ---------------------------------------------------abs(x) valeur absolue de x, |x| acos(x) arc-cosinus de x asin(x) arc-sinus de x atan(x) arc-tangente de x cos(x) cosinus de x, x est en radians. cosh(x) cosinus hyperbolique de x, x est en radians erf(x) fonction erreur de x exp(x) fonction exponentielle de x, base e inverf(x) inverse de la fonction erreur de x invnorm(x) inverse de la distribution

(linéarité) • (linéarité) • (linéarité) • (identite remarquable) • Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 2/4 (identite remarquable) • (identite remarquable) IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété : Soit et non nuls. 2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème : Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a. On a : • • • 3. Théorème de la médiane : Théorème : Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] . Pour

Autres opérateurs mathématiques (non normalisés)  ABS MOD SIGN SQRT CEIL valeur absolue modulo signe racine carrée plus petit entier FLOOR plus grand entier ROUND arrondi TRUNC tronqué EXP LN LOG COS COSH SIN SINH TAN TANH PI exponentielle logarithme népérien logarithme décimal cosinus cosinus hyperbolique sinus sinus hyperbolique tangente tangente hyperbolique constante Pi POWER puissance 4.9. Autres opérateurs de traitement des chaînes de caractères (non  normalisés)  concaténation : équivalent du || - Nota : utiliser de

xa aaxa x → +∞ x → +∞ ex remplaçant ax par x, on obtient bien lim a = +∞. x → +∞ x (iv) Remplacer x par –x dans (iii). 2– Fonctions trigonométriques hyperboliques a) sh(x) et ch(x) : On pose : ex – e–x –– 2 (sinus hyperbolique) sh(x) = ex + e–x 2 (cosinus hyperbolique) ch(x) = On vérifie facilement que : ex = sh(x) + ch(x) sh est impair. ch est pair et strictement positif. (sh et ch sont respectivement la partie paire et impaire de l'exponentielle) sh' = ch donc sh est strictement croissante, et

1. a. Montrer que f est périodique de période 2π. π Il faut pour cela que : pour tout x de Df, x + 2π ∈ Df et f(x + 2π) = f(x) π π ∀ x ∈ IR, x + 2π ∈ IR et f(x + 2π) = sin(x + 2π) (1 + cos(x + 2π)) = sin x (1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π−périodiques. Donc f est 2π−périodique. b. f est−elle paire ou impaire ? − Il faut pour cela que : pour tout x de Df, − x ∈ Df et f(− x) = f(x) (paire) ou f(−x) = − f(x) (impaire) ∀ x ∈ IR, −x ∈ IR et f(−x) = sin(−x)(1 + cos(−x)) = − sinx (1

____________________________________________________ EXERCICE 1 : EFFORT NORMAL : STRUCTURE EN ARC + TIRANT ARC SANS FLEXION : RUPTURE+CONTRAINTES+FLUAGE TIRANT : RUPTURE + CONTRAINTES 1.Enoncé La structure étudiée est représentée aux figures 1 et 2. Les arcs sont en forme de chaînette (cosinus hyperbolique); des charges uniformément réparties verticales provoquent donc un état de compression simple (sans flexion, ni effort tranchant). On suppose que les arcs sont articulés à leur base. On suppose que les efforts de réactions horizontaux

4 RÉVISION Réactivation 1 Les vecteurs 4 Page 4 2) Le cosinus de cet angle aigu. 2) 2) 2) a. 1) Le sinus de cet angle aigu. 3) La tangente de cet angle aigu. b. 1) c. 1) d. 1) 4,76 cm 7,09 cm 75,96° 3,1 cm 8,89 cm 79,11° Page 5 Réactivation 2 a. Il s’agit d’un triangle scalène et obtusangle. b. Loi des cosinus : (m ND )2 c. À 124,5 km. m ND m PN sin D m PD sin N (m PN )2 (m PD )2 2(m PN )(m PD ) cos P d. Loi des sinus : sin P e. f. 9,58° 24,58° Mise à jour