Cosinus

(x) = f (x) + g (x) 2. (λf ) (x) = λf (x) 3. (f g) (x) = f (x)g (x) + f (x)g(x) 4. f g (x) = f (x)g(x) − f (x)g (x) . g 2 (x) Cette dernière égalité n’est valable que lorsque g(x) = 0. On rappelle la définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique : shx = ex − e−x ex + e−x , chx = . 2 2 Sommaire Concepts Montrer en exercice les propriétés élémentaires de ces fonctions : 1. ch2 (x) − sh2 (x) = 1, Exemples Exercices Documents 6 précédent section suivant 2. si

n'existe pas Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul (leur angle forme 90°). Pour noter que les vecteurs u et v sont orthogonaux, on écrit u v Théorème d'Al Kashi La loi des cosinus s'énonce de la façon suivante : Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. 2. LES SUITES

(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Par exemple, le calcul √ −1 3 dx √ = 2 ) 1 + x2 (1 + x π/3 −π/4 √ cos t dt = π/3 [sin t]−π/4 = 3+ 2 √ 2 √ s’est fait grˆce au changement de variable x = tan t, avec −1 = tan(−π/4) et 3 = tan(π/3) ; le a √ cosinus ´tant positif sur l’intervalle d´crit par t, on a pu de plus ´crire cos2 t = | cos t| = cos t. e e e 8.5 Primitives de fractions rationnelles Les fractions rationnelles en x (quotients de deux polynˆmes) sont des fonctions dont on peut o

convergente. (hk ) est ainsi normalement convergente sur e e e R et, par th´or`me de continuit´ des sommes de s´ries de fonctions, e e e e h ∈ C 0 (R+ ) | sin | est π p´riodique et paire. Ses coefficients de Fourier “en sinus” sont nuls et ceux “en e cosinus” valent 1 π 2 a0 ( sin |) = | sin(t)| dt = π 0 π ∀k ≥ 1, ak ( sin |) = 2 π π | sin(t)| cos(2kt) dt = 0 4 1 π 1 − 4k 2 Pour le calcul de l’int´grale, on peut supprimer la valeur absolue et on utilise la formule sin(a + e b) + sin(a − b)

sin, cos, tan Ce sont les trois fameuses fonctions utilisées en trigonométrie. Le fonctionnement est le même, ces fonctions renvoient un double. Ces fonctions attendent une valeur en radians. asin, acos, atan Ce sont les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente, d'autres fonctions de trigonométrie. Elles s'utilisent de la même manière et renvoient un double. exp Cette fonction calcule l'exponentielle d'un nombre. Elle renvoie un double log Cette fonction calcule le logarithme népérien d'un

GEOMETRIQUE DES VECTEURS ( ) Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de géométrique. La somme de deux vecteurs : c’est une opération commutative. On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus ( que nous démontrerons plus tard : D = V12 + V2 2 A.FIZAZI 2VV cos 1 2 Univ-BECHAR ! " #) (2.2) LMD1/SM_ST 18 Rappel sur le calcul vectoriel V2 V2 V V V = V1 + V2 V = V2 + V1 V1 V1 Pour déterminer

réciproques des fonctions trigonométriques appelées fonctions cyclométriques et étudier leur comportement à partir des fonctions de base. II - 2 CNDP Erpent - Fonctions cyclométriques. 4/01/2014 6 x 4. La fonction arccos x Nous savons que la fonction cosinus est une fonction R  R : x  f(x) = cos x Cette fonction n'étant pas injective, considérons sa restriction à [0,] afin de pouvoir définir sa réciproque, appelée arccos x 4.1 Définition : arccos : [-1, 1]  [0,] x  arccos x est l'application qui

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

´ Universite Rennes II L2 MASS — Analyse Feuille de TD 6 Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries

Exercice n°71 page 180 Soit x le nombre de filles et y le nombre de garçons. Au total, il y a 440 élèves donc : 440 = … + … Puis, on compte 20% de filles de plus que les garçons donc : x = … Tu obtiens alors deux équations à deux inconnues : rassemble-les, elles constituent un système que tu dois résoudre (utilise la méthode de ton choix parmi celles décrites dans les pages 172, 173 et 174 de ton manuel). Exercice n°72 page 201 a) Suis bien la démarche de construction donnée. Attention,