Décomposition QR

que f admet un plan stable (c’est-à-dire f -invariant). 3. Démontrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f est   −1 1 0 B =  0 −1 1  0 0 −1 et trouver une matrice P inversible telle que A = PBP−1 . 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B (justifier). 5. Pour t ∈ R, calculer exptB et exprimer exptA à l’aide de P et exptB. 6. Donner les solutions des systèmes différentiels Y = BY et X = AX. II On rappelle qu’une matrice N ∈ Mn (C) est dite nilpotente d’ordre m

I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Extensions simples 1 Extensions simples Définition Une extension E de K est simple si, et seulement si, il existe a que E K a . L’importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d’une part et que la majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d’une extension simple. Démonstration Soit σ; K X E l’application

Phénomènes de compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU . . . 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Considération sur la

rappelons le, est le second membre échelonné, il a subi les mêmes opérations que la matrice échelonnée . On utilise alors un algorithme de remontée pour le système  : Nous allons étudier une méthode directe de résolution de système linéaire : la décomposition LU. L’objectif est de mettre A sous la forme d’un produit d’une matrice triangulaire inférieure L à diagonale unité par une matrice triangulaire supérieure U. Soit une matrice de taille . La factorisation , consiste, pour une matrice , à déterminer

0 ; P * Q; (k Le nouveau pivot vérif ie akk ) max k i, j n a( k ) ij On applique l'élimination de Gauss; Fin(k) On calcule la solution x par une remontée puis on remet chaque composante à sa place par x P* x 22 Décomposition LU 1 A LU 21 31 0 0 u11 1 0 0 22 1 0 32 u12 u13 u 23 0 u 33 u L est triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale U est triangulaire supérieure. La matrice A se factorise en

exclusion d'une forêt et donne une démonstration d'une vingtaine de pages de ce que si l'un des mineurs exclus est une forêtnote 8, le théorème est vrai7), mais introduisant également de nombreux concepts et outils nouveaux, comme la théorie de la décomposition arborescente8. L'ensemble de la démonstration couvre au total plus de 500 pagesnote 9 ; la communauté mathématique en a validé le résultatnote 10, appelé désormais théorème de Robertson-Seymour9, pour lequel ils reçurent en 2006 le prix Fulkerson8 ;

matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Elimination par les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Echelonnement d’une matrice 3 × 3 et décomposition LU . . . 2.2.2 Matrices élémentaires de Mn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrices échelonnées et pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Existence de la forme échelonnée, algorithme d’échelonnement 2.2.5 Exercices . . . . .

mieux bien connaître cette base, sinon vous ne saurez pas vraiment ce que vous faites… Souvent, une telle décomposition engendre des instabilités dans le schémas numérique en raison de la discrétisation etc… Dans ce chapitre, nous aborderons 3 points : Systèmes linéaires Calcul matriciel, inversions etc… Interpolation et Extrapolation de fonctions Différentes méthodes, décomposition sur une base, moindres carrés etc.. Générateurs de nombres pseudo-aléatoires Qu’est ce qu’un bon générateur

La factorisation des polynômes de degré 3 Pour factoriser un polynôme de degré 3 P(x), il faut : 1) déterminer un nombre k tel que P(k) = 0 2) diviser P(x) par (x – k) 3) utiliser le quotient de la division pour écrire le facteur trinôme 4) factoriser le trinôme si possible Voici un exemple : Factorise P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 1) P(1) = 0 2) Donc il faut diviser P(x) par (x –1). La division synthétique est utile pour

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e Les limites Limite des polynˆmes o Ce cours porte exclusivement sur la notion de limite quand x tend vers ∞, relative aux polynˆmes et aux fractions rationnelles. o 1 L’id´e g´n´rale e e e Intuitivement, dire que la fonction f a pour limite au point a signifie que lorsque x devient de plus en plus proche de a, f (x) devient de plus en plus proche de . On peut mˆme ´crire que : e e − ξ ≤ f (x) ≤ + ξ, aussi petit que