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Les limites
Limite des polynˆmes o
Ce cours porte exclusivement sur la notion de limite quand x tend vers ∞, relative aux polynˆmes et aux fractions rationnelles. o

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L’id´e g´n´rale e e e

Intuitivement, dire que la fonction f a pour limite au point a signifie que lorsque x devient de plus en plus proche de a, f (x) devient de plus en plus proche de . On peut mˆme ´crire que : e e − ξ ≤ f (x) ≤ + ξ, aussi petit que soit ξ ∈ R+ Et on note : lim f (x) = x→a 1

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2.1

La th´orie e
La limite d’un polynˆme o

Le polynˆme f : x → an xn + ... + a1 x + a0 , avec an ∈ R , et le monˆme o o g : x → an xn ont la mˆme limite quand x tend vers +∞, et ont la mˆme e e limite quand x tend vers −∞. En fait, quand x tend vers ∞, le polynˆme a mˆme limite que son monˆme o e o de plus haut degr´. e

2.2

La limite d’une fraction rationnelle an xn + ... + a1 x + a0 , avec an ∈ R et bp xp + ... + b1 x + b0

La fraction rationnelle f : x →

a n xn ont la mˆme limite quand x tend vers e bp ∈ R , et la fonction g : x → b p xp +∞, et ont la mˆme limite quand x tend vers −∞. e

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Attention !

Avant de calculer la limite d’une fonction, il faut absolument d´terminer e son ensemble de d´finition. e Les d´finitions de la limite d’un polynˆme et d’une fraction rationnelle e o ne sont valables que lorsque x tend vers ∞. Elles ne sont en revanche pas valables lorsque x tend vers un r´el a fini. e

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4.1

Exercices pratiques
Exercice 1
D´terminer la limite quand x tend vers +∞ du polynˆme e o f : x → 5x2 − 4x − 3

. Avant de s’int´resser a la limite du polynˆme, il faut s’occuper de son e ` o ensemble de d´finition. Ici, la fonction f est d´finie sur R (voir le cours “Les e e fonctions r´elles - Intervalles et ensemble de d´finition”). e e Quand x tend vers +∞, la limite d’un polynˆme est celle de son monˆme de o o plus haut degr´, donc on peut ´crire : e e lim 5x2 − 4x − 3 = lim