Décomposition QR

Correction Ex 2, 4, 6, 10 TD STRUCTURES MULTIPLICATIVES Exercice n°2 : 1) La liste des nombres considérée est 38 ; 38 + 17 ; 38 + 27 ; ……; 38 + k7 (avec k entier naturel) ; … Or 38 + 7k  365, d'où 7k  327, et donc k  46,7…… La plus grande valeur pour k est donc 46, et le plus grand nombre de la liste est donc 38 + (746) = 360. De 38 + (70) à 38 + (746), il y a 47 nombres (k prend les valeurs 0 , 1 , 2 , ……, , 46). 2) 38 + (746) = 360, 38 + (747) = 367 donc tant que l'on choisit

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

Le calcul littéral inclut des lettres dont on ne connait pas la valeur et c’est pour cela qu’on doit les laisser telles qu’elles. Une lettre est une valeur inconnue : on ne peut donc pas effectuer les calculs comme si on avait que des chiffres . Il existe des règles d’écriture qui sont uniquement des conventions mais qu’il faut respecter : La suppression du signe (x) devant une lettre ou une parenthèse. L’écriture de la lettre inconnue après le chiffre. Ex : a x 3  3a La

classique bien optimisée, sous réserve de disposer d’un registre quantique de taille suffisante pour les calculs. En résumé, des circuits de calcul quantique apporteraient un plus aux ordinateurs classiques dans quatre types d’applications : • décomposition en produit de facteurs premiers ; • calcul de logarithme discret ; • simulations de physique quantique ; Calculateur quantique • recherche dans une base de données. 3 Historique Dans les années 1970 et 80, les premiers ordinateurs quantiques

au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb on dit que : • a est un multiple de b ; • b divise a ;

à la fois a et b. On le note PGCD (a ; b). Ex. : 6 et 10 sont tous les deux divisibles par 2. 2 est seul diviseur commun à 6 et 10. 6=2×3 10 = 2 × 5 PGCD (6 ; 10) = 2 1° Décomposition en produit de facteurs premiers Tout nombre entier est le produit de nombres premiers. Pour obtenir cette décomposition, on le divise tour à tour par les nombres premiers dans leur ordre croissant. Ex. : 1 8 9 4 1 0 0 5 5 5 1 2 2 3 3 5 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 180 = 2² × 3² ×5

99 100 Consigne 6 : reconnaitre un nombre premier 1) Justifie que 143 n’est pas un nombre premier 2) Justifie que 163 est un nombre premier 3) Lequel de ces deux nombres est décomposable en un produit de facteur premier ? Consigne 7 : décomposition d’un nombre Décompose en produit de facteur premier les nombres suivant : 90 ; 45 ; 120 ; 95 ; 125 ; 160. Consigne 8 : puissance d’un nombre entier naturel. Décompose les nombres 8 et 81 en produit de facteur premier. Calcul l’aire A

Terminale S SI 2015/2016 DM 3/4 Lycée Vincensini Arithmétique pour les non spécialistes et compagnie …. EXERCICE 1 Le rocher de Sisyphe Dans la mythologie grecque, Sisyphe doit porter chaque jour un rocher en haut d’une montagne, mais une fois en haut, le rocher roule de nouveau jusqu’en bas. Le premier jour, il a fallu cinq heures, en tout, pour monter le rocher au sommet et pour que celui-ci redescende. Chacun des jours suivants, il faut deux fois plus de temps pour monter le rocher que la veille

FACTORISATIONS Vient du latin « Factor » = celui qui fait Introduction : Retrouver les expressions qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) F = (1 + 3x)(x – 2) + 1 K = (x – 4) – 3(5 + 2x) B = (x + 3) + (1 – 3x) G = 4x – 15 L = (6 + x)2 – 4(2 + 3x) C = (x – 4) – 3(3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 – 4x) D = 2(1 + x) I = (x + 15)2 N = x(x – 2) E = 3(5 + x)(32 + 5x) J = 4 – (x – 5)(3x – 5) O = (2x + 1)2(1 + x) Réponses : A, D, E, H, I, M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus petit commun multiple ou ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d'un entier en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Groupes nis 2.1 2.2 2.3 Les groupes quotients 31 Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .