Dérivée

mesure l’utilité tirée de la consommation d’un bien x, alors, l’utilité marginale est : (dans le cas où le bien x n’est pas divisible, x représentant une quantité unitaire du bien x) et dans le cas d’un bien divisible. On notera Um = , qui est la dérivée première de la fonction d’utilité (et qui représente la pente de la tangente au point considéré) Illustration tirée de GAF : Quantité de x consommé Utilité totale Utilité marginale 1 30 30 2 50 20=50-30=U(2)-U(1)=U/x 3 65 15=65-50=

Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. Étudier une variable aléatoire suivant une loi normale. Estimer une moyenne, une variance, une fréquence. Tester l'égalité de moyennes, de fréquences. Prérequis : Niveau d'un bachelier scientifique ou technologique. Contenus : Étude des polynômes. Calcul vectoriel (produit scalaire, produit vectoriel, projection). Dérivées. Fonctions

1 pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ x • la fonction ln est continue sur ]0 ; +∞[ puisque dérivable sur cet intervalle • la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ puisque sa dérivée est strictement positive sur cet intervalle, ce qui permet une première esquisse de son tableau de variations : x 0 signe de la dérivée 1 x 1 + 0 +∞ variation de la fonction ln • ainsi, nous en déduisons également le signe de la fonction ln : ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ln x = 0 ⇔ x = 1 ln x > 0 ⇔ x > 1 • la fonction

de R3 -+ M a. A quoi est équivalent ô(x,y,z) quand z —> +00? Montrer que lim 6(x, y. z) = a. Donner un équivalent b.. x—>+oo TD 2 : Fonctions, Dérivées, développements limités Sauf indications contraires, toutes les constantes introduites dans les énoncés sont des réels strictement positifs. Donner le domaine de définition et calculer les dérivées des fonctions : 7. de S(x, y,z) —a quand x +00 . Equation de van der Waals. On considère la relation suivante entre les variables P, V et

f(x) - f(a)/x - a = lim (h->0) f ( a + h ) - f ( a )/h 2) Calculer les dérivées des fonctions suivantes On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I ( I C Df ) si pour tout x appartenant à I , le nombre dérivé de f en x existe . La fonction dérivée de f sur I est la fonction , notée f ', qui , à tout x de I , associe le réel f ' ( x ) . FONCTIONS REFERENCE Fonctions f Fonction dérivée f' Domaine dérivabilité f(x)=k ( k * IR ) f'(x)=0 IR f(x)=x f'(x)=1 IR f(x)=racine

1 partie : Dérivation (1) e 2 partie : Trigonométrie Séquence 4 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne ère 1 partie Dérivation (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Nombre dérivé d’une fonction en un point 3. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence 4. Dérivation : opérations sur les fonctions 5. Premières applications de la dérivation 6. Synthèse de la partie 1 de la séquence 7. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence

l'inéquation suivante à l'aide d'un tableau de signes : x215 x−16 3 x6 ≥0 . Exercice 4 : dérivées f  x  f '  x 5 x42 x3−3 x210 x−4 4 x5 − 1 x3 1 x  x−3 x2 x2  x 3 x29 x−157 x−5 1 x21 5 x−2 3 x4 3 x2−2 x4 7 x−5 2 x−72 Exercice 5 : étude d'une fonction Soit la fonction f définie sur l'intervalle ℝ\{1,25} par f  x = x2−1,5 4 x−5 . 1. Dériver f et étudier le signe de la dérivée. 2. En déduire le tableau de variations de f . 3. Déduire du tableau de variations

d’un repère au voisinage de . orthogonal. Montrer que la droite d’équation est une asymptote à 4. On considère deux fonctions respectives sur 0 6 1 0 5 On considère la fonction Soit et définies et dérivables sur , et et leurs dérivées . Ces fonctions vérifient le tableau de valeurs suivant : 1 2 3 5 3 2 4 2 6 0 définie sur 3 1 4 2 1 et telle que 4 5 6 1 4 . dans le plan muni d’un repère orthogonal. au point d’abscisse 3. 5 3 0 4 6 6 0 5 3 2 la représentation graphique de

l’indétermination typique dans les calculs de nombre dérivé lim et doit x→x0 0 x − x0 donc éveiller les soupçons. Un certain stock de ces nombres dérivés sont fournis une bonne fois pour toutes en cours. ln(1 + x) qui donne la dérivée de la fonction x → ln(1 + x) en 0 (ou la dérivée de x → ln(x) en 1). Ici, on utilise lim x→0 x ln(1 + x) 1 ln(1 + x) ln(1 + x) = = 1. × . . . lim Pour x > −1 et x = 0 et x = 1, 2 x→0 x−x x 1−x x − x2 2 sin(x) − 1 . Exemple 6. Trouver lim 6x − π x→π/6

MathLes dérivés I-Les dérivées Usuelles Fonction f(x) | Dérivé f’(x) | Condition | k | 0 | ℝ | ax+b | a | ℝ | X | 1 | ℝ | Xn | nXn-1 | ℝ | X² | 2 X | ℝ | | | ℝ | | | ℝ | | | ℝ | II-Opérations et dérivées Fonctions | Fonctions dérivées | U+V | U’+V’ | UxV | U’VxUV’ | 1/V | (-V’/V²) | U /V | (U’V-UV’)/V² | III-Etudier les variations d’une fonction Soit la fonction C(q)=0,1q3-6q²+150q+500 avec q E [0 ;70] On étudie le sens de variation : En dérivant