la methode

Pages: 4 (876 mots) Publié le: 23 novembre 2014
Formes indéterminées
Quand on calcule des limites, les formes suivantes sont indéterminées :

Formes indéterminées



0×∞

0
0

+∞ − ∞

Indéterminations levées par le coursPolynômes, fonctions rationnelles
• La limite d’un polynôme en +∞ ou −∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
• La limite d’une fonction rationnelle en +∞ ou −∞ est égale à la limite duquotient de ses termes de plus haut degré.
Nombres dérivés
Les limites suivantes sont fournies dans le cours. Elles fournissent toutes un nombre dérivé.
sin(x)
=1
x→0
x
lim

cos(x) − 1
=0
x→0
xlim

ex − 1
=1
x→0
x
lim

lim

x→1

ln(1 + h)
ln(x)
= 1 ou lim
= 1.
h→0
x−1
h

Théorèmes de croissances comparées
ex
• lim
= +∞ et lim xex = 0.
x→+∞ x
x→−∞
ln(x)
• lim
=0.
x→+∞
x

Quelques techniques usuelles pour lever des indéterminations
Mise en facteur du terme prépondérant
Exemple 1. Trouver lim x − 1 − ex .
x→+∞

– On classe les termes par ordredécroissant de prépondérance : −ex + x − 1
1
x
– On met le prépondérant en facteur : −ex 1 − x + x
e
e
– Puisqu’on a mis le terme prépondérant en facteur, la parenthèse commence par 1 et continue pardes termes tendant
x
1
vers 0 : x = x
−→ 0. . . La parenthèse tend donc vers 1 et l’expression vers −∞.
e
e /x x→+∞
x2 − 1
x−1
et
lim
.
Exemple 2. Trouver lim
x→−∞ 1 + ex + e−x
x→+∞ 1 +ex + e−x
1
1
1−
1−
x−1
x−1
x
1
x
x
Limite en +∞. Pour tout réel x = 0,
= x
= x×
= x ×
.
1 + ex + e−x
e + 1 + e−x
e
1 + e−x + e−2x
e /x 1 + e−x + e−2x
1 − d x1
1
= 1.
lim e−x =lim eX = 0 et de même lim e−2x = 0. D’autre part lim
= 0. Donc lim
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞ 1 + e−x + e−2x
X→−∞
ex
1
D’après un théorème de croissances comparées, lim
= +∞ et donc lim x = 0.x→+∞ x
x→+∞ e /x
x2 − 1
= 0. La mise en facteur des prépondérants a permis de faire apparaître le face à face
Finalement, lim
x→+∞ 1 + ex + e−x
ex
en +∞.
x
1
1
1−
1−
x−1
x
x−1
x
x...
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