la methode
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Formes indéterminéesQuand on calcule des limites, les formes suivantes sont indéterminées :
Formes indéterminées
∞
∞
0×∞
0
0
+∞ − ∞
Indéterminations levées par le cours
Polynômes, fonctions rationnelles
• La limite d’un polynôme en +∞ ou −∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
• La limite d’une fonction rationnelle en +∞ ou −∞ est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
Nombres dérivés
Les limites suivantes sont fournies dans le cours. Elles fournissent toutes un nombre dérivé. sin(x) =1 x→0 x lim cos(x) − 1
=0
x→0 x lim
ex − 1
=1
x→0 x lim
lim
x→1
ln(1 + h) ln(x) = 1 ou lim
= 1. h→0 x−1 h Théorèmes de croissances comparées ex • lim
= +∞ et lim xex = 0. x→+∞ x x→−∞ ln(x)
• lim
= 0. x→+∞ x
Quelques techniques usuelles pour lever des indéterminations
Mise en facteur du terme prépondérant
Exemple 1. Trouver lim x − 1 − ex . x→+∞ – On classe les termes par ordre décroissant de prépondérance : −ex + x − 1
1
x
– On met le prépondérant en facteur : −ex 1 − x + x e e
– Puisqu’on a mis le terme prépondérant en facteur, la parenthèse commence par 1 et continue par des termes tendant x 1 vers 0 : x = x
−→ 0. . . La parenthèse tend donc vers 1 et l’expression vers −∞. e e /x x→+∞ x2 − 1 x−1 et lim .
Exemple 2. Trouver lim x→−∞ 1 + ex + e−x x→+∞ 1 + ex + e−x
1
1
1−
1− x−1 x−1 x 1 x x
Limite en +∞. Pour tout réel x = 0,
= x
= x×
= x ×
.
1 + ex + e−x e + 1 + e−x e 1 + e−x + e−2x e /x 1 + e−x + e−2x
1 − d x1
1
= 1. lim e−x = lim eX = 0 et de même lim e−2x = 0. D’autre part lim
= 0. Donc lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x→+∞ 1 + e−x + e−2x
X→−∞
ex
1
D’après un théorème de croissances comparées, lim
= +∞ et donc lim x = 0. x→+∞ x x→+∞ e /x x2 − 1
= 0. La mise en facteur des prépondérants a permis de faire apparaître le face à face
Finalement, lim x→+∞ 1 + ex + e−x ex en +∞. x 1
1
1−
1−
x−1 x x−1 x x
x