Dérivée

Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim h→0 f (a + h) − f (a) existe h et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f (a). • Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f , qui à tout a de I associe f (a), le

. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Interprétation graphique . . . . . . 2.2.2 Interprétation numérique . . . . . 2.2.3 Interprétation cinématique . . . . 2.3 Signe de la dérivée, sens de variation . . . 2.4 Dérivée et extremum local . . . . . . . . . 2.5 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . 2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires 2.5.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et interpréter un résultat sur un graphique. – Donner du sens à la notion de nombre dérivé d’une fonction en un point et à son interprétation géométrique. – Faire le lien entre les variations d’une fonction et le signe de sa dérivée. – Etudier le signe d’une fonction dérivée. – Rédiger un exercice. C’est pour répondre à ces difficultés d’apprentissage que nous avons construit les activités présentées dans les pages suivantes, pour permettre d’outiller l’enseignant devant l’hétérogénéité du public

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution

Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées . II.5 Croissance comparée de l’exponentielle, du logarithme et III Dérivation III.1 Nombre dérivé en un point III.2 Fonction dérivée . . . . . . III.3 Dérivées successives . . . . III.4 Opérations . . . . . . . . . III.5 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées . II.5 Croissance comparée de l’exponentielle, du logarithme et III Dérivation III.1 Nombre dérivé en un point III.2 Fonction dérivée . . . . . . III.3 Dérivées successives . . . . III.4 Opérations . . . . . . . . . III.5 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= f ′(a )( x − a ) + f (a ) III. Fonctions dérivées et dérivées de fonctions usuelles 1. Fonction dérivée d’une fonction f Définition : Si une fonction f est dérivable en tout point a d’un intervalle I, on appelle fonction dérivée de f sur I la fonction qui associe à tout réel de I le nombre dérivé de f en ce point, et on note f ′ cette fonction : f′ x ֏ f ′( x) © http://www.bacdefrancais.net Page 5 sur 23 Dérivation 2. Dérivée de fonctions usuelles Les formules encadrées

Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition – Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Exercices d’approfondissement Séquence 6 – MA11 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Fonctions de référence ᕡ Fonction « carré » f : x x2 À savoir Dans le plan muni d’un repère, la fonction « carré » est définie par f ( x ) = x 2 où x est un nombre réel. ̈ La ̈ f
FTU
EÏmOJF
TVS
‫ޒ‬. fonction « carré »

tableur comme EXCEL. III- Principe A une date t donnée, on suppose que la dérivée première dU/dt est constante pendant un cours intervalle de temps t. A partir de l'équation différentielle et des conditions initiales, on calcule la valeur de la dérivée première puis on calcule par intégration la valeur de la tension U à la date t + t. On recommence en considérant la date suivante, t + t ; les valeurs de la dérivée première et de U constituent les nouvelles conditions initiales. Et ainsi des

si elle est dérivable en chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. • Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R. • La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[. A retenir sur le fascicule de TD • Les dérivées des fonctions usuelles et leurs domaines de validité. • Les formules de