Dérivation

I. Des exemples pour commencer
1. Fonction carrée
On définit la fonction f telle que f ( x) = x ² sur [ −1; 2] .

Soient les points A (1;1) et M ( x; x ² ) ∈ C f

( AM )

est une sécante à la courbe C f

Cf

Calculons le coefficient directeur de ( AM ) :

m=

yM − y A x ² − 1
=
xM − x A x −1

m=

( x + 1)( x − 1)
= x + 1 si x ≠ 1 . x −1

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Dérivation

Lorsque l’on « rapproche beaucoup » le point M du point A, ( AM ) devient la tangente à
C f en A.
Calculons le coefficient directeur de cette tangente. Si on « rapproche beaucoup » le point M du point A, cela signifie que dans les coordonnées de M, x tend vers 1 (car x A = 1 ).
Le coefficient directeur de la tangente en A est donc : lim xM →1

yM − y A x ² −1
= lim = M
= lim ( xM + 1) = 2 xM →1 xM − xA xM − 1 xM →1

La tangente en A à la courbe est donc la droite passant par A et de coefficient f ( x) − f ( x A ) directeur 2 = lim
.
x →1 x − xA
On note f ′(1) = lim x →1

f ( x) − f (1) x −1

C’est le nombre dérivé de f en x=1

La tangente en A admet pour équation : y = 2 x + b

Et comme A a pour coordonnées (1;1) , on a 1 = 2 + b donc b = −1
Tangente en A : y = 2 x − 1

Recherche du nombre dérivé en un point a quelconque de la courbe :
Le nombre dérivé en un point a quelconque est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative en ce point a.
Le point a ∈ C f , notons ses coordonnées (a, a ²) .
Ce coefficient directeur est égal à m =
Et

y M − ya x ² − ya x ² − a ²
=
=
.
xM − xa x − xa x−a x ² − a ² ( x − a )( x + a )
=
= x + a si x ≠ a . x−a x−a

Pour trouver la valeur du coefficient directeur, on fait tendre x vers a : lim x→a

f ( x) − f (a)
= lim( x + a ) = 2a x→a x−a

C’est le nombre dérivé de la fonction carrée en a : f ′(a ) = 2a

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2. Fonction inverse
On définit la