Dimension d'un espace vectoriel

Chapitre 5 Algebre lineaire, enonces Lorsque la dimension est in nie, on admettra que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel possede des supplementaires et que tout espace vectoriel possededes bases. K designe toujours un corps commutatif. 1. Soit E un K -espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On de ni sur E la relation R suivante : (x R y) () (x ? y 2 F ). (a) Veri er que R est une relation d'equivalence. On note E 0 = E /F l'ensemble des classes d'equivalence pour cette

forment une famille libre d’un espace de (( ) ). dimension , c’est une base de c) On pose ( ( ( ) ses coordonnées dans la base canonique ) et )( ) ( ) ( { On prend, par exemple )( ) { ( , { ) (( Les composantes de ne vérifient pas { ( ) ) ) donc { (( ) ), de plus ( ) est une (( ) ) par conséquent ( famille libre de ) est une famille libre, elle a trois vecteurs dans (( ) ). un espace vectoriel de dimension trois, c’est une base

E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E). Si f∈L(E,F) et g∈L(F,G)

Chapitre 4 - les applications linéaires Rétour sur le cours du 29 X 2007 ► Définition ● Soient E et F deux espaces vectoriels sur IR, et soit f(.) une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si l’on a : (X(E, (Y(E, (α ( IR, (β ( IR, f(αX+ β Y) = αf(X)+ βf(Y). ● L’application f1(.), par exemple, de IR² dans IR², définie par f1 = , est une application linéaire. En effet, (( IR², (( IR², (α ( IR, (β ( IR, on a : f1 = αf1 + βf1. Vérification : αf1 + βf1

Colinéarité de deux vecteurs I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs : 1) Définition Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel que = . Exemple : = et . sont colinéaires Remarque : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. • Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs. Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et donc b) ( donc c) ( 10

Du 29 mars au 2 avril 2010 Programme de colle N° 22 XX. Espaces vectoriels K d´signe le corps R ou C e I. Structure d’espace vectoriel 1. D´finition d’un espace vectoriel e 2. D´finition d’une alg`bre e e II. Sous-espace vectoriel 1. D´finition e 2. L’intersection de sev est un sev III. Somme de deux sev 1. D´finition e 2. Somme directe 3. Sous-espaces suppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires e 1. D´finition e 2. La compos´e

connue sous le nom de relation de Chasles. III. Coordonn´ees d’un vecteur dans un rep`ere Dans un rep`ere (O,I,J) les coordonn´ees d’un vecteur u sont les coordonn´ees du point M tel que u Dans cet exemple, le vecteur u a pour coordonn´ees (2 ;1). Et on ´ecrit : uÔ2; 1Õ. OM ´ Egalit´ e de deux vecteurs Si uÔx; y Õ et u½ Ôx½ ; y ½ Õ ” u v ” ´equivaut ` a dire ” x x½ et y y ½ ”. Fiche issue de http://www.ilemaths.net 3 Coordonn´ ees d’un vecteur AB Si AÔxA ; yA Õ et B ÔxB ; yB Õ alors on montre

Famille de vecteurs Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Famille génératrice Famille libre, famille liée Base d'un espace vectoriel Composantes dans une base Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n). Dans le cas

`  0 0  0 . . . 1 I.A.2. La propri´t´ (P1) n’est pas v´rifi´e, car une matrice de rang 1 n’est pas inversible (la dimension ee e e de V est sup´rieure a 2). e ` La propri´t´ (P2 ) est v´rifi´e, car I est inversible. ee e e La propri´t´ (P3 ) est v´rifi´e, car I est inversible. ee e e La propri´t´ (P4 ) n’est pas v´rifi´e, car GLn n’est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le ee e e vecteur nul). La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e, car GLn est un groupe. ee e e I.B.1. Si l’on note

et u sont colinéaires. 5. Equation réduite d’une droite : Le plan est muni d’un repère. Le vecteur u de coordonnées le couple (1 ; m) est un vecteur directeur de la droite (D) d’équation y = mx + p. 03 -2quations cartésiennes de droites : Propriété : Le plan est muni d’un repère. Toute droite (D) du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec (a , b)((0 ; 0). Propriété : Le plan est muni d’un repère. Toute équation du type ax + by + c = 0 avec (a , b)((0 ; 0) est l’équation