Famille de vecteurs
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs
Famille génératrice
Famille libre, famille liée
Base d'un espace vectoriel
Composantes dans une base
Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n).
Dans le cas particulier où n=0, on dit que la famille F est vide.
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DéfinitionOn appelle combinaison linéaire des vecteurs de la famille F=(e⃗ i)1≤i≤n tout vecteur x⃗ de Epouvant s'écrire x⃗ =∑i=1nλie⃗ i avec λ1,…,λn bien choisis.

ExempleUne somme sur le vide étant égale au vecteur nul, le vecteur nul est le seul vecteur combinaison linéaire de la famille vide.

DéfinitionOn appelle espace vectoriel engendré par la famille F=(e⃗ i)1≤i≤n, le sous-espace vectoriel engendré par la partie {e⃗ 1,…,e⃗ n}. On le note VectF, Vect(e⃗ i)1≤i≤n ou Vect(e⃗ 1,…,e⃗ n).

ExempleLe sous-espace vectoriel engendré par la famille vide est l'espace nul {0⃗ }.

Théorème
Si (e⃗ 1,…,e⃗ n) est une famille de vecteurs de E alors Vect(e⃗ 1,…,e⃗ n) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs e⃗ 1,…,e⃗ n i.e. :
Vect(e⃗ 1,…,e⃗ n)={∑i=1nλie⃗ i/λ1,…,λn∈K}.
[Preuve...]

ExempleCas n=1, Vect(u⃗ )={λ.u⃗ /λ∈K }=K .u⃗ .

ExempleCas n=2 ; Vect(u⃗ ,v⃗ )={λ.u⃗ +μ.v⃗ /λ,μ∈K}=K.u⃗ +K.v⃗ .

ExempleDans R3, considérons u⃗ =(1,1,1),v⃗ =(0,−1,2).
Vect(u⃗ ,v⃗ )={(λ,λ+μ,2μ)/λ,μ∈R}.

RemarqueIl est efficace d'établir qu'une partie est un sous-espace vectoriel en observant que celle-ci s'apparente à un espace vectoriel engendré par une famille.

ExempleDans R3, considérons P={(a+b,a−b,2b)/a,b∈R}.
Puisque P=Vect(u⃗ ,v⃗ ) avec u⃗ =(1,1,0) et v⃗ =(1,−1,2), P est un sous-espace vectoriel de R3.