Droit canonique

Exercices corrig´ es 2011 – 2012 Classe de Premi` ere S Exercice 1 : D´eterminer la forme canonique des fonctions trinomes suivantes : 1. f (x) = −2x2 + 12x − 14 2. f (x) = 2x2 − x + 1 3. f (x) = 2x2 − x − 1 4. f (x) = 2x2 − x − 15 1 3 5. f (x) = x2 − x − 2 2 1 2 6. f (x) = − x − 2x − 5 5 1 2 7. f (x) = − x + x + 3 3 5 8. f (x) = 3x2 − x + 12 Exercice 2 : R´esoudre les ´equations suivantes : 1. 4x2 + 12x + 9 = 0 √ 1 2. x2 − 2x + = 0 2 √ 3. 3x2 − 6x + 1 = 0 4

parabole. II – Forme canonique Si f est une fonction définie sur ℝ par (avec ), alors f peut aussi se mettre sous la forme : où On appelle cette forme la forme canonique.  Démonstration : On va partir de pour arriver à . Dans un premier temps, calculons :  Exemple : Déterminer la forme canonique de f(x) est de la forme avec La forme canonique de f est avec Calculons : Calculons : La forme canonique de f est donc III

Devoir maison de math´ematiques n◦1 Exercice 1 Exprimer chacun des trinˆ omes ax2 + bx + c suivants sous sa forme canonique a(x − m)2 + n : x2 − 4x + 7 x2 − 2x − 6 x2 + 3x + 2 2x2 − 20x + 59 3x2 + 4x + 7 Exercice 2 Factoriser chacun des trinˆ omes suivants : x2 + 6x + 9 x2 + x − 2 2x2 − 10x + 12 3x2 + 13x + 4 Exercice 3 ´ Etudier le signe sur R des fonctions suivantes : f1 (x) = x2 − x − 6 f2 (x) = x2 + 2x + 8 f3 (x) = 2x2 + 4x − 6 f4 (x) = −2x2 − 5x + 3 Exercice 4 R´esoudre les (in)´equations

15/10   1. cherchons l'équation de la parabole sous la forme y=f(x), avec f(x)=ax² + bx + c, où a, b, c sont 3 réels à déterminer : • On a : f(0)=1,5 donc c=1,5 • la forme canonique de la fonction est f(x)=a(x-­‐20)²+4 b = 20 d’où b = −40a 2a • de plus, l'abscisse du sommet est α= − • et en développant la forme canonique, on obtient : f(x)=ax²-40ax+a400+4 • on  en  déduit  que  400a  +  4  =  1,5  d'où   a = € − • • donc   b = −40a = 0,25 conclusion  :  f(x)=-­‐0

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)

Activit´ de math´matiques e e Forme canonique d’un trinˆme du second degr´ o e On appelle trinˆme du second degr´ une expression litt´rale de la forme ax2 + bx + c avec o e e a, b, c ∈ R. Factoriser en une ´tape ` l’aide des identit´s remarquables e a e On rappelle les trois identit´s remarquables : e (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b) 2 2 2 (1) (2) (3) a −b = a − 2ab + b 2 2 = (a − b)(a + b) En utilisant dans chaque cas l’une de ces ´galit´s, factoriser chacun des trinˆmes

est : Le minimum de f est : Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = Il est atteint pour x = 5. Retrouver la forme canonique de chaque fonction (en développant chaque forme canonique) : ……… = (x + 3)² – 10 ……… = (x – 3)² – 1 ……… = (x – 2)² – 2 ……… = (x – 1)² – 3 6. Quel est semble être le lien entre la forme canonique de chaque fonction et les résultats de la question 4. ? 

que f(x) = - (x + 2)(x – 4) | et que f(x) = | 2) Dresser, en justifiant, le tableau des variations de la fonction f. f est un polynôme du second degré. Sa représentation graphique est donc une parabole.C’est la forme canonique de f(x).a = -1 ; α = 1 et β = 9a < 0 donc les branches de la parabole sont tournées vers le bas.α = 1 et β = 9 donc les coordonnées su sommet sont (1 ; 9)D’où le tableau des variations de la fonction f : x | 1

II – Problèmes du second degré – Equations du second degré  1 ‐ Equations du second degré        a – Définition  Soient  ,  trois réels avec    degré d’inconnue x  0 . L’équation  0  est dite équation du second        b – Forme canonique  0    est appelée la forme canonique de  Démonstration :  2               c – Discriminant  Le réel   4  est noté   et appelé le discriminant de l’équation du second  0                         yosri_prof@yahoo.fr         /                  Tel :23 356 901   

5 Pour s’entraîner avec les outils de 1ère Forme canonique : 1°) Compléter par les nombres qu’il faut : (x + 9)2 = x 2 + 18x + 81 ; x − 72 (3x − 5)2 = 9x 2 − 30x + 25 ; 2 = x 2 − 7x + 49 4 5x + 65 2 36 = 25x 2 + 12x + 25 2°) Mettre sous forme canonique : f (x) = (x + 3)2 − 12 ; g (x) = 3(x + 1)2 − 2 ; h (x) = −5 x 2 + 12 6 x + 7 = −5 x + x 5 5 2 + 7 71 ; p (x) = −2 x − 5 4 2 − 47 8 3°) Sans développer, mettre sous forme canonique : f (x) = (x + 1)2 −4 ; g (x) = 2(x + 4)2 −8 ; h (x)