Droit canonique

Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités remarquables Pour réussir à mettre une expression sous forme canonique , il faut connaître et savoir manipuler parfaitement les identités remarquables Exemple Mais il faut aussi savoir factoriser une expression donnée : Exemple Factoriser : On remarque d’abord qu’il y a un « moins » donc il s’agit de l’identité remarquable Ensuite , on associe chacun des termes ( les morceaux) : on voit immédiatement que le « a » correspond au « x »

quelconques, avec a = 0. • Une forme canonique pour l’´equation du second degr´e ax2 + bx + c = 0 est une expression dans laquelle n’apparaˆıt qu’une seule fois l’inconnue x. Ex : • x2 + 2x + 1 = 0 est une ´equation du second degr´e (a = 1, b = 2 et c = 1), et x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = 0 est une forme canonique de cette ´equation. • x2 + 2x + 3 = 0 a pour forme canonique x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)2 + 2 = 0. Exercice 7 Mettre sous forme canonique : Y. Morel R´esolution d’´equations

*Devoir maison 1ère* ES1-ES2 Mardi 8 Décembre 2009 Soit f:R→R Cette forme s’appelle la forme canonique de f(x). En déduire le tableau de variations de f Tracer avec beaucoup de soin, sur papier millimétré, la parabole (P1) qui représente f. Résoudre graphiquement puis par le calcul les équations suivantes : Résoudre graphiquement puis par le calcul l’inéquation f(x)≥0 _(on fera apparaître sur le dessin toutes les constructions indispensables

P un probl`me de PL (appel´ primal) sous la forme canonique : e e Max z = cx Ax ≤ b x≥0 avec A(m, n), c(1, n), x(n, 1), b(m, 1) alors le probl`me dual est : e Min ω = yb yA ≥ c y≥0 avec y(m, 1) Proposition 1 Le dual du dual est le primal. Rappel : la transpos´e d’une matrice A(m, n) = (ai,j ) est la matrice tA (n, m) = (aj,i). e On a ttA = A et tAB = tB tA , t−A = −tA , si A ≤ B alors tA ≤ tB . On met le dual sous forme canonique : −Max ω = −yb −yA ≤ −c y≥0 puis −Max ω = t−b

___________________________________________________________________ Beniaich Adnane Page 21 22/10/200808 9580622.doc ______________________________________________________________________________ b) Exercice 1 Soit le programme linéaire suivant sous sa forme canonique: x1 + x2 £ 14 -2x1 + 3x2 £ 12 avec x1, x2 ³ 0 2x1 - x2 £ 12 max z = x1 + 3x2 1. Mettre sous forme standard On introduit donc les variables d'écart t1, t2 et t3: x1 + x2 + t1 = 14 -2x1 + 3x2 + t2 = 12 avec x1, x2, t1, t2, t3 ³ 0 2x1 - x2

Partie 1  1.1  1. Forme canonique disjonctive :  f(a,b,c)=a.b+a.c+b.c   = a.b.(c + c) + a.c(b + b) + b.c.(a + a)   = abc + abc + abc + abc + abc + abc Forme canonique conjonctive :  f (a, b, c) = a.b + a.c + b.c = (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c)   = (aa + ac + ab + bc)(b + c) = aab + abc + abb + bbc + aac + acc + abc + bcc = abc + acc + abc + bcc   2. Table de vérité :  A  B  C  ab  ac   bc   f  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  1  1  1  0  1  0  0  0 

et al. [10]. Nombre d’approches ont vu le jour, chacune visant `a traduire la notion d’indépendance statistique sous une forme algorithmiquement exploitable [1,3,5,8,11]. Parmi elles, certaines ont établi un lien entre l’ICA et la décomposition canonique de tableaux cumulants d’ordre supérieur, proposant alors de nouveaux outils de décomposition tensorielle [1, 3, 5]. Si la s´eparation de sources rencontre un grand succès, c’est en partie d au fait qu’elle trouve sa place dans grand nombre d’applications

5 points) Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1) 9 − x2 =0 x−3 2) ( 3 − 2x )2 ≤ 16 3) 5) (1 − 5x )2 ( 2 + x )2 ≤ ( 2 − 3x ) ( 2 − 3x ) 2x − 3 x + 1 x2 + 3 − = 2 x−3 x x − 3x 4) 3x 2 + 3x − 6 ≤ 0 (il faudra utiliser la forme canonique) 

K2 0 A K1 Rampe A p2 ∞ A K1 ∞ Résolution des équations du 1er ordre 3 3.1 Forme habituelle 3.1.1 FTBO Forme canonique : K = 10 τ = K 1+τ p Val en dB 20 1 w45 1 Z2 3.1.2 FTBF K K = 1+K τ = CourbedeN iccholls45degr. 3.2 Avec intégrateur 3.2.1 FTBO Forme canonique : KBO (1+τ p)τ Ne pas suivre les courbes de phase de Nicholls. wn : La courbe commence à 90◦ → On prend la valeur à 90 + 45 = 135◦ , on obtient

degr´ e Enonc´ e Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 P3 (x) = −x 2 + 2x + 5 P2 (x) = x 2 + 3x + 1 P4 (x) = 3x 2 + x − 4 Les polynˆ omes du second degr´ e Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on a P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on a P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 donc P1 (x) = 2( Mettre sous forme canonique P1 (x) = 2x 2 + 8x − 2 R´ eponse on