Droit réel

• si b = 0 , on a z = a , z est un réel. (IR est contenu dans C) I • si a = 0 , on a z = b i , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). Remarques : • • IR correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur la droite. On peut donc toujours comparer deux nombres réels : si x et y sont des réels, on a nécessairement x ≤ y ou y ≤ x (Le point d'abscisse x se trouve, sur la droite, "avant" ou "après" le point d'abscisse

l‘ordre donc f est décroissante. KjjExemple 4 : f est affine donc pour tous réel x, f(x)=ax+b avec a=fx1-f(x2)x1-x2= f3-f(-2)3-2= 1-15= -25 Donc pour tous réel x, f(x)=-25x+b.

Dérivation. 1. La tangente à une courbe en un point P, est la droite dont la position est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P Pente de PQ=fx-f(a)x-a Pente de t =limx→afx-f(a)x-a 2. Comme t est la limite des positions des sécantes PQ quand Q se rapproche de P alors la pente de la tangente t est la limite de la pente de PQ quand Q se rapproche de P. 3. Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I C R et a ∈ I le nombre dérivé de f en a ,noté

Chapitre 3 Chapitre 3. Dérivées et primitives Activités et applications 2x(x2 + 1) – (x2 – 1)(2x) 4x = 2 . (x2 + 1)2 (x + 1)2 Pour tout réel x, F’(x) = f(x) donc F est une primitive de f sur ‫ޒ‬. 2. G est dérivable sur ‫ޒ‬. G = uv avec u(x) = x et v(x) = cos(2x). G’(x) = u’(x) v(x) + u(x)v’(x) avec u’(x) = 1 et v’(x) = – 2 sin(2x). G’(x) = cos(2x) – 2x sin(2x). On n’a pas, sur ‫ޒ‬, G’(x) = g(x) ; donc G n’est pas une primitive de g sur ‫ޒ‬. F’(x) = 1. Dérivée d’une fonction de la forme x ‫( ۋ‬u(x))n

c avec a, b, c   et a ≠ 0, il existe deux réels uniques α et β tels que : pour tout x  , ( ) ( ) (forme canonique)  II – Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Définition 2: On appelle discriminant du polynôme ax2  bx  c le réel   b2  4ac . 2 2   b  b2  4ac  b    Remarque : D'après ce qui précède, ax  bx  c  a  x    a x      (a  0)    2a  2a  4a 2  4a 2    2 Propriété 2: Résolution dans  de l'équation (E) : ax2  bx  c  0 avec

Euclidiens 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens . . Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes symétriques . . . . . . Matrice symétrique réelle . . . . . . . . . Procédé de Schmidt . . . . . . . . . . . . . Projection sur un s-e-v de dimension finie Méthode des Moindres Carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 26 26 26 26 27 27 5. Structure de Corps

les points B, J, D, E de la droite des réels d'abscisses : B() ; J () ; D () ; E (). Soit (O,I,J) un repère orthonormé et (C) le cercle trigonométrique. Placer ces points sur le cercle trigonométrique (C), obtenus par enroulement de la droite des réels. Quelle est la nature du quadrilatère BJDE ? Le justifier. On considère les réels;  ;  . Placer sur le cercle trigonométrique (C) les points obtenus par enroulement de la droite des réels. Soit (d) la droite perpendiculaire à (OJ) passant

OB , OD) soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3) dans ce repère. S + D C E O A B Partie A 1. Soit U le point de la droite (SB ) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie). 2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU ) et de la droite (SC ). Montrer que les droites (UV ) et (BC ) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie). 5 1 ;− ;0 . 6 6 Montrer que K est le

valeurs prises par la fonction. Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f ( x 0 ), avec le nombre x 0 . Séquence 6 – MA12 3 © Cned - Académie en ligne ̈ Exemple Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 1)2 − 2 . Pour tout réel x, on a f ( x ) ≥ f (1) car f (1) = −2 et ( x − 1)2 − 2 ≥ −2. Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce minimum est atteint pour x 0 = 1. 2. Variations des fonctions affines Propriétés Soit f une fonction affine définie sur » par f (

nombres connus et étudiés en classe de seconde, qu’il est infini et totalement ordonné, ce qui signifie qu’étant donné deux nombres et quelconques, on peut toujours écrire ou ou . On peut représenter géométriquement l’ensemble des nombres réels par une droite orientée munie d’une origine, correspondant au nombre 0, et une unité de longueur, correspondant au nombre 1. I) Les neuf types d’intervalles Les neuf types d’intervalles sont : 1) Les intervalles fermés bornés Soit et deux nombres réels.