Droit réel

constant et égal à 1,8 %. Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100 millions près. 4. a. On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés. b. Calculer la population mondiale en millions d’habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d’après ce modèle (à 100 millions près). 5. En fait, en 2008 on vient de dépasser 6,5 milliards

équation cartésienne x + 2y − z − 1 = 0. b) Déterminer la distance d du point F au plan P. 2 Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode. On appelle ∆ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆. b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P. c) Retrouver le résultat de la question 1. b). 3 Soit S la sphère de centre F et de rayon 6. a)

Licence Economie et Gestion – Première année Mathématiques Unité d’enseignement M1 Document de cours Analyse à une variable réelle 1. Généralités sur fonctions et équations numériques 2. Notions de variations et de croissance (1) 3. Notions de variations et de croissance (2) 4. Optimisation de fonctions numériques 5. Familles de fonctions numériques et équations numériques paramétrées 6. Sommation, intégration Avertissement A l’exception de la leçon 6, ce document présente les notions

[000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = Indication Correction 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x

l’axe des ordonnées. • f est impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = − f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine. 2-2 Axe et centre de symétrie • C f admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ± h ∈ D f , f (a + h) = f (a − h). • C f admet le point Ω (a, b) comme centre de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ± h ∈ D f , f (a

l’addition). Si a ≠ 0 alors ∃!d ∈ ℝ tel que ad = da = 1 (tout élément non nul est inversible). Cet élément d est noté 1 a et cela permet de définir l’opération de division. ℝ est ordonné par une relation ≤ . Celle-ci permet de visualiser ℝ comme une droite. La relation ≤ est compatible avec + et × i.e. : ∀a ,b , c ∈ ℝ , a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c et c ≥ 0 et a ≤ b ⇒ ac ≤ bc . Prop : ∀a ,b ∈ ℝ . Si 0 < a ≤ b ou a ≤ b < 0 alors Prop : ∀a ∈ ℝ, a 2 ≥ 0 . 1 ∀a ,b ∈ ℝ,ab ≤ (a 2 + b 2 ) . 2 Prop : Soit a ∈ ℝ +

réels : » M –4 –3 –2 –1 0 1 2 x 3 4 5 6 7 8 A tout point M d’une droite graduée, on peut faire correspondre un unique nombre x appelé abscisse du point M. Lorsque M décrit la droite graduée, x décrit l’ensemble des nombres réels. L’ensemble des nombres réels contient tous les nombres que vous connaissez comme par exemple 1 ; –2 ; –0,7 ; 5/3 ; 2 , ≠ etc. et à chaque nombre que vous connaissez correspond un unique point de la droite graduée. L’ensemble des nombres réels est noté » . B Avec un

des points du plan. → → AB = CD <=> ABDC est un parallélogramme. <=> les segments [AD] et [BC] ont même milieu. → → AB = BC <=> B est le milieu du segment [AC] A C + II multiplication d’un vecteur par un réel. définition : → soit un vecteur u non nul. soit k un nombre réel. → → soient A et B deux points tels que : AB = u . → → on appelle produit du vecteur u → par le nombre k. le vecteur noté k u tel que : → si k > 0 alors le vecteur k u a même direction, même sens que u

est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4]. Les points M (1 ; 3,5) N (3 ; 1,5) et P (2 ; 2,5) appartiennent à Cf. La courbe Cf admet en chacun des points M et N une tangente parallèle à l’axe des abscisses. La droite ( est tangente à la courbe Cf au point P elle passe par le point S (3 ; 1). Par lecture graphique : 1. Compléter : ❖ f ’ (1) = ……… ❖ f ’(2) = ……… ❖ f ’(3) = ……… 2. Compléter le tableau de variation de la fonction f sur [0 ;

Equations d’une droite ………………..………….….…….. page 10 4) Vecteur normal d’une droite ……………….……….….….. page 13 5) Intersection de deux droites …………………………….….. page 14 C) Géométrie analytique dans l’espace………………………….. page 15 1) Points, droites, plans et vecteurs dans l’espace ……………. page 15 2) Repères de l’espace ………………………………………… page 18 3) Calcul vectoriel dans un repère de l’espace ….…….……….. page 19 4) Equations d’un plan ………………………….………….….. page 20 5) Systèmes d’équations d’une droite …………..…………